Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119606 / 118423
↖ ↑ ↗
← S 80.938380°
E148.507690°		 ← 48.10 m → S 80.938380°
E148.510437°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
S 80.938813°
E148.507690°		 ← 48.10 m →
2 314 m²		 S 80.938813°
E148.510437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912525177001953 y=0.903499603271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912525177001953 × 217)
    floor (0.912525177001953 × 131072)
    floor (119606.5)     		tx = 119606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903499603271484 × 217)
    floor (0.903499603271484 × 131072)
    floor (118423.5)     		ty = 118423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119606 / 118423 ti = "17/119606/118423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119606/118423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119606 ÷ 217
    119606 ÷ 131072     		x = 0.912521362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118423 ÷ 217
    118423 ÷ 131072     		y = 0.903495788574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912521362304688 × 2 - 1) × π
    0.825042724609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59194816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903495788574219 × 2 - 1) × π
    -0.806991577148438 × 3.1415926535     		Φ = -2.53523881020591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59194816} λ = 2.59194816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53523881020591))-π/2
    2×atan(0.0792427930172137)-π/2
    2×0.0790775488879932-π/2
    0.158155097775986-1.57079632675     		φ = -1.41264123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59194816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.507690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41264123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.938380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119606 KachelY 118423 2.59194816 -1.41264123 148.507690 -80.938380
    Oben rechts KachelX + 1 119607 KachelY 118423 2.59199610 -1.41264123 148.510437 -80.938380
    Unten links KachelX 119606 KachelY + 1 118424 2.59194816 -1.41264878 148.507690 -80.938813
    Unten rechts KachelX + 1 119607 KachelY + 1 118424 2.59199610 -1.41264878 148.510437 -80.938813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41264123--1.41264878) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dl = 48.101050000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41264123--1.41264878) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dr = 48.101050000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59194816-2.59199610) × cos(-1.41264123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157496597735135 × 6371000     		do = 48.1035149107044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59194816-2.59199610) × cos(-1.41264878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157489141958196 × 6371000     		du = 48.1012377245156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41264123)-sin(-1.41264878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157496597735135-0.157489141958196)×R²
    abs(2.59199610-2.59194816)×7.45577693872512e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.45577693872512e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.45577693872512e-06×40589641000000     		ar = 2313.77480851912m²