Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119600 / 119568
↖ ↑ ↗
← S 81.420492°
E148.491211°		 ← 45.56 m → S 81.420492°
E148.493958°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
S 81.420901°
E148.491211°		 ← 45.56 m →
2 076 m²		 S 81.420901°
E148.493958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912479400634766 y=0.912235260009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912479400634766 × 217)
    floor (0.912479400634766 × 131072)
    floor (119600.5)     		tx = 119600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912235260009766 × 217)
    floor (0.912235260009766 × 131072)
    floor (119568.5)     		ty = 119568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119600 / 119568 ti = "17/119600/119568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119600/119568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119600 ÷ 217
    119600 ÷ 131072     		x = 0.9124755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119568 ÷ 217
    119568 ÷ 131072     		y = 0.9122314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9124755859375 × 2 - 1) × π
    0.824951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59166054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.824462890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59012656027087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59166054} λ = 2.59166054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59012656027087))-π/2
    2×atan(0.0750105461295242)-π/2
    2×0.0748703348418833-π/2
    0.149740669683767-1.57079632675     		φ = -1.42105566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59166054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.491211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42105566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.420492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119600 KachelY 119568 2.59166054 -1.42105566 148.491211 -81.420492
    Oben rechts KachelX + 1 119601 KachelY 119568 2.59170848 -1.42105566 148.493958 -81.420492
    Unten links KachelX 119600 KachelY + 1 119569 2.59166054 -1.42106281 148.491211 -81.420901
    Unten rechts KachelX + 1 119601 KachelY + 1 119569 2.59170848 -1.42106281 148.493958 -81.420901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42105566--1.42106281) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dl = 45.5526500004257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42105566--1.42106281) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dr = 45.5526500004257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59166054-2.59170848) × cos(-1.42105566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149181706278584 × 6371000     		do = 45.5639330345694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59166054-2.59170848) × cos(-1.42106281) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149174636284709 × 6371000     		du = 45.5617736764581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42105566)-sin(-1.42106281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149181706278584-0.149174636284709)×R²
    abs(2.59170848-2.59166054)×7.06999387584117e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.06999387584117e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.06999387584117e-06×40589641000000     		ar = 2075.50871205185m²