Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119600 / 118413
↖ ↑ ↗
← S 80.934053°
E148.491211°		 ← 48.13 m → S 80.934053°
E148.493958°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
S 80.934487°
E148.491211°		 ← 48.12 m →
2 318 m²		 S 80.934487°
E148.493958°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912479400634766 y=0.903423309326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912479400634766 × 217)
    floor (0.912479400634766 × 131072)
    floor (119600.5)     		tx = 119600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903423309326172 × 217)
    floor (0.903423309326172 × 131072)
    floor (118413.5)     		ty = 118413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119600 / 118413 ti = "17/119600/118413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119600/118413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119600 ÷ 217
    119600 ÷ 131072     		x = 0.9124755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118413 ÷ 217
    118413 ÷ 131072     		y = 0.903419494628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9124755859375 × 2 - 1) × π
    0.824951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59166054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903419494628906 × 2 - 1) × π
    -0.806838989257812 × 3.1415926535     		Φ = -2.53475944120971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59166054} λ = 2.59166054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53475944120971))-π/2
    2×atan(0.0792807886615978)-π/2
    2×0.0791153073176256-π/2
    0.158230614635251-1.57079632675     		φ = -1.41256571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59166054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.491211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41256571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.934053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119600 KachelY 118413 2.59166054 -1.41256571 148.491211 -80.934053
    Oben rechts KachelX + 1 119601 KachelY 118413 2.59170848 -1.41256571 148.493958 -80.934053
    Unten links KachelX 119600 KachelY + 1 118414 2.59166054 -1.41257327 148.491211 -80.934487
    Unten rechts KachelX + 1 119601 KachelY + 1 118414 2.59170848 -1.41257327 148.493958 -80.934487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41256571--1.41257327) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41256571--1.41257327) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59166054-2.59170848) × cos(-1.41256571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157571174760831 × 6371000     		do = 48.1262926539644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59166054-2.59170848) × cos(-1.41257327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157563709198624 × 6371000     		du = 48.1240124791029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41256571)-sin(-1.41257327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157571174760831-0.157563709198624)×R²
    abs(2.59170848-2.59166054)×7.46556220695971e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.46556220695971e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.46556220695971e-06×40589641000000     		ar = 2317.93642342929m²