Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1196 / 747
↖ ↑ ↗
← N 81.234966°
W127.441406°		 ← 744.62 m → N 81.234966°
W127.397461°		 →
↑
744.90 m
↓
↑
744.90 m
↓
N 81.228267°
W127.441406°		 ← 745.18 m →
554 874 m²		 N 81.228267°
W127.397461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14605712890625 y=0.09124755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14605712890625 × 213)
    floor (0.14605712890625 × 8192)
    floor (1196.5)     		tx = 1196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.09124755859375 × 213)
    floor (0.09124755859375 × 8192)
    floor (747.5)     		ty = 747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1196 / 747 ti = "13/1196/747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1196/747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1196 ÷ 213
    1196 ÷ 8192     		x = 0.14599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 747 ÷ 213
    747 ÷ 8192     		y = 0.0911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14599609375 × 2 - 1) × π
    -0.7080078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22427214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0911865234375 × 2 - 1) × π
    0.817626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.56865082924109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22427214} λ = -2.22427214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56865082924109))-π/2
    2×atan(13.0482082989218)-π/2
    2×1.49430697217039-π/2
    2.98861394434077-1.57079632675     		φ = 1.41781762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22427214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.441406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41781762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.234966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1196 KachelY 747 -2.22427214 1.41781762 -127.441406 81.234966
    Oben rechts KachelX + 1 1197 KachelY 747 -2.22350515 1.41781762 -127.397461 81.234966
    Unten links KachelX 1196 KachelY + 1 748 -2.22427214 1.41770070 -127.441406 81.228267
    Unten rechts KachelX + 1 1197 KachelY + 1 748 -2.22350515 1.41770070 -127.397461 81.228267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41781762-1.41770070) × R
    0.000116919999999965 × 6371000     		dl = 744.897319999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41781762-1.41770070) × R
    0.000116919999999965 × 6371000     		dr = 744.897319999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22427214--2.22350515) × cos(1.41781762) × R
    0.000766990000000245 × 0.152382724287716 × 6371000     		do = 744.617159744083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22427214--2.22350515) × cos(1.41770070) × R
    0.000766990000000245 × 0.152498277802654 × 6371000     		du = 745.18181121946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41781762)-sin(1.41770070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152382724287716-0.152498277802654)×R²
    abs(-2.22350515--2.22427214)×0.000115553514937361×R²
    0.000766990000000245×0.000115553514937361×6371000²
    0.000766990000000245×0.000115553514937361×40589641000000     		ar = 554873.631036665m²