Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119597 / 118463
↖ ↑ ↗
← S 80.955667°
E148.482971°		 ← 48.01 m → S 80.955667°
E148.485718°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
S 80.956099°
E148.482971°		 ← 48.01 m →
2 303 m²		 S 80.956099°
E148.485718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912456512451172 y=0.903804779052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912456512451172 × 217)
    floor (0.912456512451172 × 131072)
    floor (119597.5)     		tx = 119597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903804779052734 × 217)
    floor (0.903804779052734 × 131072)
    floor (118463.5)     		ty = 118463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119597 / 118463 ti = "17/119597/118463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119597/118463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119597 ÷ 217
    119597 ÷ 131072     		x = 0.912452697753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118463 ÷ 217
    118463 ÷ 131072     		y = 0.903800964355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912452697753906 × 2 - 1) × π
    0.824905395507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.59151673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903800964355469 × 2 - 1) × π
    -0.807601928710938 × 3.1415926535     		Φ = -2.53715628619071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59151673} λ = 2.59151673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53715628619071))-π/2
    2×atan(0.079090992448118)-π/2
    2×0.0789266937879669-π/2
    0.157853387575934-1.57079632675     		φ = -1.41294294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59151673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.482971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41294294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.955667°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119597 KachelY 118463 2.59151673 -1.41294294 148.482971 -80.955667
    Oben rechts KachelX + 1 119598 KachelY 118463 2.59156467 -1.41294294 148.485718 -80.955667
    Unten links KachelX 119597 KachelY + 1 118464 2.59151673 -1.41295047 148.482971 -80.956099
    Unten rechts KachelX + 1 119598 KachelY + 1 118464 2.59156467 -1.41295047 148.485718 -80.956099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41294294--1.41295047) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41294294--1.41295047) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59151673-2.59156467) × cos(-1.41294294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157198646053952 × 6371000     		do = 48.0125127979948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59151673-2.59156467) × cos(-1.41295047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157191209669962 × 6371000     		du = 48.0102415349117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41294294)-sin(-1.41295047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157198646053952-0.157191209669962)×R²
    abs(2.59156467-2.59151673)×7.43638399017255e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.43638399017255e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.43638399017255e-06×40589641000000     		ar = 2303.28004391615m²