Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119595 / 118476
↖ ↑ ↗
← S 80.961278°
E148.477478°		 ← 47.97 m → S 80.961278°
E148.480224°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
S 80.961710°
E148.477478°		 ← 47.97 m →
2 301 m²		 S 80.961710°
E148.480224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912441253662109 y=0.903903961181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912441253662109 × 217)
    floor (0.912441253662109 × 131072)
    floor (119595.5)     		tx = 119595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903903961181641 × 217)
    floor (0.903903961181641 × 131072)
    floor (118476.5)     		ty = 118476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119595 / 118476 ti = "17/119595/118476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119595/118476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119595 ÷ 217
    119595 ÷ 131072     		x = 0.912437438964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118476 ÷ 217
    118476 ÷ 131072     		y = 0.903900146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912437438964844 × 2 - 1) × π
    0.824874877929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.59142086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.80780029296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53777946588577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59142086} λ = 2.59142086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53777946588577))-π/2
    2×atan(0.0790417199019818)-π/2
    2×0.0788777273549422-π/2
    0.157755454709884-1.57079632675     		φ = -1.41304087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59142086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.477478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41304087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.961278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119595 KachelY 118476 2.59142086 -1.41304087 148.477478 -80.961278
    Oben rechts KachelX + 1 119596 KachelY 118476 2.59146879 -1.41304087 148.480224 -80.961278
    Unten links KachelX 119595 KachelY + 1 118477 2.59142086 -1.41304840 148.477478 -80.961710
    Unten rechts KachelX + 1 119596 KachelY + 1 118477 2.59146879 -1.41304840 148.480224 -80.961710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41304087--1.41304840) × R
    7.53000000019988e-06 × 6371000     		dl = 47.9736300012734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41304087--1.41304840) × R
    7.53000000019988e-06 × 6371000     		dr = 47.9736300012734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59142086-2.59146879) × cos(-1.41304087) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1571019328637 × 6371000     		do = 47.9729651362124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59142086-2.59146879) × cos(-1.41304840) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157094496363827 × 6371000     		du = 47.9706943115153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41304087)-sin(-1.41304840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1571019328637-0.157094496363827)×R²
    abs(2.59146879-2.59142086)×7.43649987230977e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.43649987230977e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.43649987230977e-06×40589641000000     		ar = 2301.38280968756m²