Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119594 / 118462
↖ ↑ ↗
← S 80.955235°
E148.474731°		 ← 48.01 m → S 80.955235°
E148.477478°		 →
↑
48.04 m
↓
↑
48.04 m
↓
S 80.955667°
E148.474731°		 ← 48.01 m →
2 306 m²		 S 80.955667°
E148.477478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912433624267578 y=0.903797149658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912433624267578 × 217)
    floor (0.912433624267578 × 131072)
    floor (119594.5)     		tx = 119594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903797149658203 × 217)
    floor (0.903797149658203 × 131072)
    floor (118462.5)     		ty = 118462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119594 / 118462 ti = "17/119594/118462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119594/118462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119594 ÷ 217
    119594 ÷ 131072     		x = 0.912429809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118462 ÷ 217
    118462 ÷ 131072     		y = 0.903793334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912429809570312 × 2 - 1) × π
    0.824859619140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59137292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903793334960938 × 2 - 1) × π
    -0.807586669921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53710834929109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59137292} λ = 2.59137292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53710834929109))-π/2
    2×atan(0.0790947839159587)-π/2
    2×0.0789304616850307-π/2
    0.157860923370061-1.57079632675     		φ = -1.41293540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59137292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.474731°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41293540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.955235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119594 KachelY 118462 2.59137292 -1.41293540 148.474731 -80.955235
    Oben rechts KachelX + 1 119595 KachelY 118462 2.59142086 -1.41293540 148.477478 -80.955235
    Unten links KachelX 119594 KachelY + 1 118463 2.59137292 -1.41294294 148.474731 -80.955667
    Unten rechts KachelX + 1 119595 KachelY + 1 118463 2.59142086 -1.41294294 148.477478 -80.955667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41293540--1.41294294) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dl = 48.0373399994716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41293540--1.41294294) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dr = 48.0373399994716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59137292-2.59142086) × cos(-1.41293540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157206092304687 × 6371000     		do = 48.0147870746358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59137292-2.59142086) × cos(-1.41294294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157198646053952 × 6371000     		du = 48.0125127979948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41293540)-sin(-1.41294294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157206092304687-0.157198646053952)×R²
    abs(2.59142086-2.59137292)×7.44625073498262e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.44625073498262e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.44625073498262e-06×40589641000000     		ar = 2306.44802676856m²