Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119593 / 118469
↖ ↑ ↗
← S 80.958257°
E148.471985°		 ← 48 m → S 80.958257°
E148.474731°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
S 80.958689°
E148.471985°		 ← 48 m →
2 303 m²		 S 80.958689°
E148.474731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912425994873047 y=0.903850555419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912425994873047 × 217)
    floor (0.912425994873047 × 131072)
    floor (119593.5)     		tx = 119593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903850555419922 × 217)
    floor (0.903850555419922 × 131072)
    floor (118469.5)     		ty = 118469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119593 / 118469 ti = "17/119593/118469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119593/118469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119593 ÷ 217
    119593 ÷ 131072     		x = 0.912422180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118469 ÷ 217
    118469 ÷ 131072     		y = 0.903846740722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912422180175781 × 2 - 1) × π
    0.824844360351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.59132498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903846740722656 × 2 - 1) × π
    -0.807693481445312 × 3.1415926535     		Φ = -2.53744390758843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59132498} λ = 2.59132498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53744390758843))-π/2
    2×atan(0.0790682474574528)-π/2
    2×0.0789040901510963-π/2
    0.157808180302193-1.57079632675     		φ = -1.41298815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59132498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.471985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41298815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.958257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119593 KachelY 118469 2.59132498 -1.41298815 148.471985 -80.958257
    Oben rechts KachelX + 1 119594 KachelY 118469 2.59137292 -1.41298815 148.474731 -80.958257
    Unten links KachelX 119593 KachelY + 1 118470 2.59132498 -1.41299568 148.471985 -80.958689
    Unten rechts KachelX + 1 119594 KachelY + 1 118470 2.59137292 -1.41299568 148.474731 -80.958689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41298815--1.41299568) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41298815--1.41299568) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59132498-2.59137292) × cos(-1.41298815) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157153997989103 × 6371000     		do = 47.9988761297487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59132498-2.59137292) × cos(-1.41299568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157146561551606 × 6371000     		du = 47.9966048503233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41298815)-sin(-1.41299568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157153997989103-0.157146561551606)×R²
    abs(2.59137292-2.59132498)×7.43643749664957e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.43643749664957e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.43643749664957e-06×40589641000000     		ar = 2302.62584316788m²