Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119593 / 118441
↖ ↑ ↗
← S 80.946164°
E148.471985°		 ← 48.06 m → S 80.946164°
E148.474731°		 →
↑
48.04 m
↓
↑
48.04 m
↓
S 80.946596°
E148.471985°		 ← 48.06 m →
2 309 m²		 S 80.946596°
E148.474731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912425994873047 y=0.903636932373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912425994873047 × 217)
    floor (0.912425994873047 × 131072)
    floor (119593.5)     		tx = 119593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903636932373047 × 217)
    floor (0.903636932373047 × 131072)
    floor (118441.5)     		ty = 118441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119593 / 118441 ti = "17/119593/118441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119593/118441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119593 ÷ 217
    119593 ÷ 131072     		x = 0.912422180175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118441 ÷ 217
    118441 ÷ 131072     		y = 0.903633117675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912422180175781 × 2 - 1) × π
    0.824844360351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.59132498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903633117675781 × 2 - 1) × π
    -0.807266235351562 × 3.1415926535     		Φ = -2.53610167439907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59132498} λ = 2.59132498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53610167439907))-π/2
    2×atan(0.0791744467395714)-π/2
    2×0.0790096287417453-π/2
    0.158019257483491-1.57079632675     		φ = -1.41277707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59132498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.471985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41277707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.946164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119593 KachelY 118441 2.59132498 -1.41277707 148.471985 -80.946164
    Oben rechts KachelX + 1 119594 KachelY 118441 2.59137292 -1.41277707 148.474731 -80.946164
    Unten links KachelX 119593 KachelY + 1 118442 2.59132498 -1.41278461 148.471985 -80.946596
    Unten rechts KachelX + 1 119594 KachelY + 1 118442 2.59137292 -1.41278461 148.474731 -80.946596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41277707--1.41278461) × R
    7.5400000001391e-06 × 6371000     		dl = 48.0373400008862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41277707--1.41278461) × R
    7.5400000001391e-06 × 6371000     		dr = 48.0373400008862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59132498-2.59137292) × cos(-1.41277707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157362451629519 × 6371000     		do = 48.0625432371284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59132498-2.59137292) × cos(-1.41278461) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157355005566546 × 6371000     		du = 48.060269017835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41277707)-sin(-1.41278461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157362451629519-0.157355005566546)×R²
    abs(2.59137292-2.59132498)×7.44606297239936e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.44606297239936e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.44606297239936e-06×40589641000000     		ar = 2308.74210722222m²