Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119592 / 118472
↖ ↑ ↗
← S 80.959552°
E148.469239°		 ← 47.98 m → S 80.959552°
E148.471985°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
S 80.959984°
E148.469239°		 ← 47.98 m →
2 302 m²		 S 80.959984°
E148.471985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912418365478516 y=0.903873443603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912418365478516 × 217)
    floor (0.912418365478516 × 131072)
    floor (119592.5)     		tx = 119592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903873443603516 × 217)
    floor (0.903873443603516 × 131072)
    floor (118472.5)     		ty = 118472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119592 / 118472 ti = "17/119592/118472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119592/118472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119592 ÷ 217
    119592 ÷ 131072     		x = 0.91241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118472 ÷ 217
    118472 ÷ 131072     		y = 0.90386962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91241455078125 × 2 - 1) × π
    0.8248291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59127705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90386962890625 × 2 - 1) × π
    -0.8077392578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53758771828729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59127705} λ = 2.59127705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53758771828729))-π/2
    2×atan(0.0790568774151147)-π/2
    2×0.0788927907401197-π/2
    0.157785581480239-1.57079632675     		φ = -1.41301075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59127705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.469239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41301075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.959552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119592 KachelY 118472 2.59127705 -1.41301075 148.469239 -80.959552
    Oben rechts KachelX + 1 119593 KachelY 118472 2.59132498 -1.41301075 148.471985 -80.959552
    Unten links KachelX 119592 KachelY + 1 118473 2.59127705 -1.41301828 148.469239 -80.959984
    Unten rechts KachelX + 1 119593 KachelY + 1 118473 2.59132498 -1.41301828 148.471985 -80.959984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41301075--1.41301828) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41301075--1.41301828) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59127705-2.59132498) × cos(-1.41301075) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157131678774106 × 6371000     		do = 47.9820484077981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59127705-2.59132498) × cos(-1.41301828) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157124242309867 × 6371000     		du = 47.9797775939823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41301075)-sin(-1.41301828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157131678774106-0.157124242309867)×R²
    abs(2.59132498-2.59127705)×7.4364642382585e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.4364642382585e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.4364642382585e-06×40589641000000     		ar = 2301.81856743852m²