Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119590 / 118437
↖ ↑ ↗
← S 80.944434°
E148.463745°		 ← 48.07 m → S 80.944434°
E148.466492°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
S 80.944867°
E148.463745°		 ← 48.07 m →
2 312 m²		 S 80.944867°
E148.466492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912403106689453 y=0.903606414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912403106689453 × 217)
    floor (0.912403106689453 × 131072)
    floor (119590.5)     		tx = 119590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903606414794922 × 217)
    floor (0.903606414794922 × 131072)
    floor (118437.5)     		ty = 118437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119590 / 118437 ti = "17/119590/118437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119590/118437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119590 ÷ 217
    119590 ÷ 131072     		x = 0.912399291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118437 ÷ 217
    118437 ÷ 131072     		y = 0.903602600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912399291992188 × 2 - 1) × π
    0.824798583984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59118117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903602600097656 × 2 - 1) × π
    -0.807205200195312 × 3.1415926535     		Φ = -2.53590992680059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59118117} λ = 2.59118117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53590992680059))-π/2
    2×atan(0.0791896297051968)-π/2
    2×0.0790247171064144-π/2
    0.158049434212829-1.57079632675     		φ = -1.41274689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59118117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.463745°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41274689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.944434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119590 KachelY 118437 2.59118117 -1.41274689 148.463745 -80.944434
    Oben rechts KachelX + 1 119591 KachelY 118437 2.59122911 -1.41274689 148.466492 -80.944434
    Unten links KachelX 119590 KachelY + 1 118438 2.59118117 -1.41275444 148.463745 -80.944867
    Unten rechts KachelX + 1 119591 KachelY + 1 118438 2.59122911 -1.41275444 148.466492 -80.944867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41274689--1.41275444) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dl = 48.101050000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41274689--1.41275444) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dr = 48.101050000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59118117-2.59122911) × cos(-1.41274689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157392255542664 × 6371000     		do = 48.0716461193556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59118117-2.59122911) × cos(-1.41275444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157384799640129 × 6371000     		du = 48.0693688948067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41274689)-sin(-1.41275444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157392255542664-0.157384799640129)×R²
    abs(2.59122911-2.59118117)×7.45590253437012e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.45590253437012e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.45590253437012e-06×40589641000000     		ar = 2312.24188520637m²