Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119589 / 118470
↖ ↑ ↗
← S 80.958689°
E148.460999°		 ← 47.99 m → S 80.958689°
E148.463745°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
S 80.959120°
E148.460999°		 ← 47.98 m →
2 302 m²		 S 80.959120°
E148.463745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912395477294922 y=0.903858184814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912395477294922 × 217)
    floor (0.912395477294922 × 131072)
    floor (119589.5)     		tx = 119589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903858184814453 × 217)
    floor (0.903858184814453 × 131072)
    floor (118470.5)     		ty = 118470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119589 / 118470 ti = "17/119589/118470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119589/118470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119589 ÷ 217
    119589 ÷ 131072     		x = 0.912391662597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118470 ÷ 217
    118470 ÷ 131072     		y = 0.903854370117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912391662597656 × 2 - 1) × π
    0.824783325195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.59113324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903854370117188 × 2 - 1) × π
    -0.807708740234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53749184448805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59113324} λ = 2.59113324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53749184448805))-π/2
    2×atan(0.0790644572616571)-π/2
    2×0.0789003235024597-π/2
    0.157800647004919-1.57079632675     		φ = -1.41299568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59113324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.460999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41299568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.958689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119589 KachelY 118470 2.59113324 -1.41299568 148.460999 -80.958689
    Oben rechts KachelX + 1 119590 KachelY 118470 2.59118117 -1.41299568 148.463745 -80.958689
    Unten links KachelX 119589 KachelY + 1 118471 2.59113324 -1.41300321 148.460999 -80.959120
    Unten rechts KachelX + 1 119590 KachelY + 1 118471 2.59118117 -1.41300321 148.463745 -80.959120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41299568--1.41300321) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41299568--1.41300321) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59113324-2.59118117) × cos(-1.41299568) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157146561551606 × 6371000     		do = 47.9865930429477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59113324-2.59118117) × cos(-1.41300321) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157139125105199 × 6371000     		du = 47.9843222345769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41299568)-sin(-1.41300321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157146561551606-0.157139125105199)×R²
    abs(2.59118117-2.59113324)×7.4364464069665e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.4364464069665e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.4364464069665e-06×40589641000000     		ar = 2302.03659016307m²