Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119588 / 118419
↖ ↑ ↗
← S 80.936650°
E148.458252°		 ← 48.11 m → S 80.936650°
E148.460999°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
S 80.937083°
E148.458252°		 ← 48.11 m →
2 314 m²		 S 80.937083°
E148.460999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912387847900391 y=0.903469085693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912387847900391 × 217)
    floor (0.912387847900391 × 131072)
    floor (119588.5)     		tx = 119588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903469085693359 × 217)
    floor (0.903469085693359 × 131072)
    floor (118419.5)     		ty = 118419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119588 / 118419 ti = "17/119588/118419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119588/118419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119588 ÷ 217
    119588 ÷ 131072     		x = 0.912384033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118419 ÷ 217
    118419 ÷ 131072     		y = 0.903465270996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912384033203125 × 2 - 1) × π
    0.82476806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59108530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903465270996094 × 2 - 1) × π
    -0.806930541992188 × 3.1415926535     		Φ = -2.53504706260743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59108530} λ = 2.59108530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53504706260743))-π/2
    2×atan(0.0792579890893302)-π/2
    2×0.0790926501149735-π/2
    0.158185300229947-1.57079632675     		φ = -1.41261103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59108530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.458252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41261103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.936650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119588 KachelY 118419 2.59108530 -1.41261103 148.458252 -80.936650
    Oben rechts KachelX + 1 119589 KachelY 118419 2.59113324 -1.41261103 148.460999 -80.936650
    Unten links KachelX 119588 KachelY + 1 118420 2.59108530 -1.41261858 148.458252 -80.937083
    Unten rechts KachelX + 1 119589 KachelY + 1 118420 2.59113324 -1.41261858 148.460999 -80.937083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41261103--1.41261858) × R
    7.54999999985628e-06 × 6371000     		dl = 48.1010499990844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41261103--1.41261858) × R
    7.54999999985628e-06 × 6371000     		dr = 48.1010499990844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59108530-2.59113324) × cos(-1.41261103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157526420753108 × 6371000     		do = 48.1126236280379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59108530-2.59113324) × cos(-1.41261858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157518965012083 × 6371000     		du = 48.110346452818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41261103)-sin(-1.41261858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157526420753108-0.157518965012083)×R²
    abs(2.59113324-2.59108530)×7.45574102514746e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.45574102514746e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.45574102514746e-06×40589641000000     		ar = 2314.21294758518m²