Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119586 / 118430
↖ ↑ ↗
← S 80.941408°
E148.452759°		 ← 48.09 m → S 80.941408°
E148.455505°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
S 80.941841°
E148.452759°		 ← 48.09 m →
2 313 m²		 S 80.941841°
E148.455505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912372589111328 y=0.903553009033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912372589111328 × 217)
    floor (0.912372589111328 × 131072)
    floor (119586.5)     		tx = 119586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903553009033203 × 217)
    floor (0.903553009033203 × 131072)
    floor (118430.5)     		ty = 118430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119586 / 118430 ti = "17/119586/118430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119586/118430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119586 ÷ 217
    119586 ÷ 131072     		x = 0.912368774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118430 ÷ 217
    118430 ÷ 131072     		y = 0.903549194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912368774414062 × 2 - 1) × π
    0.824737548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59098942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903549194335938 × 2 - 1) × π
    -0.807098388671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53557436850325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59098942} λ = 2.59098942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53557436850325))-π/2
    2×atan(0.0792162069013577)-π/2
    2×0.0790511286204452-π/2
    0.15810225724089-1.57079632675     		φ = -1.41269407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59098942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.452759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41269407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.941408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119586 KachelY 118430 2.59098942 -1.41269407 148.452759 -80.941408
    Oben rechts KachelX + 1 119587 KachelY 118430 2.59103736 -1.41269407 148.455505 -80.941408
    Unten links KachelX 119586 KachelY + 1 118431 2.59098942 -1.41270162 148.452759 -80.941841
    Unten rechts KachelX + 1 119587 KachelY + 1 118431 2.59103736 -1.41270162 148.455505 -80.941841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41269407--1.41270162) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dl = 48.101050000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41269407--1.41270162) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dr = 48.101050000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59098942-2.59103736) × cos(-1.41269407) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157444416983335 × 6371000     		do = 48.0875775659722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59098942-2.59103736) × cos(-1.41270162) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157436961143576 × 6371000     		du = 48.0853003605966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41269407)-sin(-1.41270162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157444416983335-0.157436961143576)×R²
    abs(2.59103736-2.59098942)×7.45583975883535e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.45583975883535e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.45583975883535e-06×40589641000000     		ar = 2313.00820492796m²