Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119582 / 118434
↖ ↑ ↗
← S 80.943138°
E148.441773°		 ← 48.07 m → S 80.943138°
E148.444519°		 →
↑
48.04 m
↓
↑
48.04 m
↓
S 80.943570°
E148.441773°		 ← 48.07 m →
2 309 m²		 S 80.943570°
E148.444519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912342071533203 y=0.903583526611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912342071533203 × 217)
    floor (0.912342071533203 × 131072)
    floor (119582.5)     		tx = 119582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903583526611328 × 217)
    floor (0.903583526611328 × 131072)
    floor (118434.5)     		ty = 118434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119582 / 118434 ti = "17/119582/118434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119582/118434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119582 ÷ 217
    119582 ÷ 131072     		x = 0.912338256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118434 ÷ 217
    118434 ÷ 131072     		y = 0.903579711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912338256835938 × 2 - 1) × π
    0.824676513671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59079768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903579711914062 × 2 - 1) × π
    -0.807159423828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53576611610173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59079768} λ = 2.59079768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53576611610173))-π/2
    2×atan(0.0792010188401073)-π/2
    2×0.0790360352550354-π/2
    0.158072070510071-1.57079632675     		φ = -1.41272426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59079768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.441773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41272426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.943138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119582 KachelY 118434 2.59079768 -1.41272426 148.441773 -80.943138
    Oben rechts KachelX + 1 119583 KachelY 118434 2.59084561 -1.41272426 148.444519 -80.943138
    Unten links KachelX 119582 KachelY + 1 118435 2.59079768 -1.41273180 148.441773 -80.943570
    Unten rechts KachelX + 1 119583 KachelY + 1 118435 2.59084561 -1.41273180 148.444519 -80.943570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41272426--1.41273180) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dl = 48.0373399994716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41272426--1.41273180) × R
    7.53999999991706e-06 × 6371000     		dr = 48.0373399994716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59079768-2.59084561) × cos(-1.41272426) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157414603445782 × 6371000     		do = 48.0684428598784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59079768-2.59084561) × cos(-1.41273180) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157407157445479 × 6371000     		du = 48.0661691341104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41272426)-sin(-1.41273180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157414603445782-0.157407157445479)×R²
    abs(2.59084561-2.59079768)×7.44600030352927e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.44600030352927e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.44600030352927e-06×40589641000000     		ar = 2309.02552097817m²