Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11958 / 13770
↖ ↑ ↗
← N 27.586198°
W 48.625488°		 ← 1 082.76 m → N 27.586198°
W 48.614502°		 →
↑
1 082.82 m
↓
↑
1 082.82 m
↓
N 27.576460°
W 48.625488°		 ← 1 082.85 m →
1 172 478 m²		 N 27.576460°
W 48.614502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364944458007812 y=0.420242309570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364944458007812 × 215)
    floor (0.364944458007812 × 32768)
    floor (11958.5)     		tx = 11958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420242309570312 × 215)
    floor (0.420242309570312 × 32768)
    floor (13770.5)     		ty = 13770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11958 / 13770 ti = "15/11958/13770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11958/13770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11958 ÷ 215
    11958 ÷ 32768     		x = 0.36492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13770 ÷ 215
    13770 ÷ 32768     		y = 0.42022705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.2701416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84867487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42022705078125 × 2 - 1) × π
    0.1595458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.501228222427307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84867487} λ = -0.84867487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501228222427307))-π/2
    2×atan(1.65074751122349)-π/2
    2×1.02613315375277-π/2
    2.05226630750554-1.57079632675     		φ = 0.48146998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84867487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.625488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48146998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.586198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11958 KachelY 13770 -0.84867487 0.48146998 -48.625488 27.586198
    Oben rechts KachelX + 1 11959 KachelY 13770 -0.84848312 0.48146998 -48.614502 27.586198
    Unten links KachelX 11958 KachelY + 1 13771 -0.84867487 0.48130002 -48.625488 27.576460
    Unten rechts KachelX + 1 11959 KachelY + 1 13771 -0.84848312 0.48130002 -48.614502 27.576460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48146998-0.48130002) × R
    0.000169960000000025 × 6371000     		dl = 1082.81516000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48146998-0.48130002) × R
    0.000169960000000025 × 6371000     		dr = 1082.81516000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84867487--0.84848312) × cos(0.48146998) × R
    0.000191749999999935 × 0.886315158543873 × 6371000     		do = 1082.7573855468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84867487--0.84848312) × cos(0.48130002) × R
    0.000191749999999935 × 0.886393851250927 × 6371000     		du = 1082.85351964643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48146998)-sin(0.48130002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886315158543873-0.886393851250927)×R²
    abs(-0.84848312--0.84867487)×7.86927070537402e-05×R²
    0.000191749999999935×7.86927070537402e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.86927070537402e-05×40589641000000     		ar = 1172478.16222505m²