Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11958 / 13694
↖ ↑ ↗
← N 28.323725°
W 48.625488°		 ← 1 075.39 m → N 28.323725°
W 48.614502°		 →
↑
1 075.42 m
↓
↑
1 075.42 m
↓
N 28.314053°
W 48.625488°		 ← 1 075.48 m →
1 156 549 m²		 N 28.314053°
W 48.614502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364944458007812 y=0.417922973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364944458007812 × 215)
    floor (0.364944458007812 × 32768)
    floor (11958.5)     		tx = 11958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417922973632812 × 215)
    floor (0.417922973632812 × 32768)
    floor (13694.5)     		ty = 13694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11958 / 13694 ti = "15/11958/13694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11958/13694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11958 ÷ 215
    11958 ÷ 32768     		x = 0.36492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13694 ÷ 215
    13694 ÷ 32768     		y = 0.41790771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36492919921875 × 2 - 1) × π
    -0.2701416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84867487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41790771484375 × 2 - 1) × π
    0.1641845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.515801039911804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84867487} λ = -0.84867487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515801039911804))-π/2
    2×atan(1.67497969013638)-π/2
    2×1.03256928833463-π/2
    2.06513857666926-1.57079632675     		φ = 0.49434225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84867487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.625488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49434225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.323725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11958 KachelY 13694 -0.84867487 0.49434225 -48.625488 28.323725
    Oben rechts KachelX + 1 11959 KachelY 13694 -0.84848312 0.49434225 -48.614502 28.323725
    Unten links KachelX 11958 KachelY + 1 13695 -0.84867487 0.49417345 -48.625488 28.314053
    Unten rechts KachelX + 1 11959 KachelY + 1 13695 -0.84848312 0.49417345 -48.614502 28.314053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49434225-0.49417345) × R
    0.000168799999999969 × 6371000     		dl = 1075.4247999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49434225-0.49417345) × R
    0.000168799999999969 × 6371000     		dr = 1075.4247999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84867487--0.84848312) × cos(0.49434225) × R
    0.000191749999999935 × 0.880280971529646 × 6371000     		do = 1075.38578584838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84867487--0.84848312) × cos(0.49417345) × R
    0.000191749999999935 × 0.880361046612203 × 6371000     		du = 1075.48360871218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49434225)-sin(0.49417345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880280971529646-0.880361046612203)×R²
    abs(-0.84848312--0.84867487)×8.00750825573626e-05×R²
    0.000191749999999935×8.00750825573626e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.00750825573626e-05×40589641000000     		ar = 1156549.14698137m²