Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119578 / 118494
↖ ↑ ↗
← S 80.969042°
E148.430786°		 ← 47.94 m → S 80.969042°
E148.433533°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
S 80.969473°
E148.430786°		 ← 47.94 m →
2 300 m²		 S 80.969473°
E148.433533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912311553955078 y=0.904041290283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912311553955078 × 217)
    floor (0.912311553955078 × 131072)
    floor (119578.5)     		tx = 119578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904041290283203 × 217)
    floor (0.904041290283203 × 131072)
    floor (118494.5)     		ty = 118494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119578 / 118494 ti = "17/119578/118494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119578/118494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119578 ÷ 217
    119578 ÷ 131072     		x = 0.912307739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118494 ÷ 217
    118494 ÷ 131072     		y = 0.904037475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912307739257812 × 2 - 1) × π
    0.824615478515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59060593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904037475585938 × 2 - 1) × π
    -0.808074951171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53864233007893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59060593} λ = 2.59060593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53864233007893))-π/2
    2×atan(0.0789735470482995)-π/2
    2×0.0788099774104057-π/2
    0.157619954820811-1.57079632675     		φ = -1.41317637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59060593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.430786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41317637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.969042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119578 KachelY 118494 2.59060593 -1.41317637 148.430786 -80.969042
    Oben rechts KachelX + 1 119579 KachelY 118494 2.59065387 -1.41317637 148.433533 -80.969042
    Unten links KachelX 119578 KachelY + 1 118495 2.59060593 -1.41318390 148.430786 -80.969473
    Unten rechts KachelX + 1 119579 KachelY + 1 118495 2.59065387 -1.41318390 148.433533 -80.969473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41317637--1.41318390) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41317637--1.41318390) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59060593-2.59065387) × cos(-1.41317637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156968114007661 × 6371000     		do = 47.9421023771628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59060593-2.59065387) × cos(-1.41318390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156960677347567 × 6371000     		du = 47.9398310297506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41317637)-sin(-1.41318390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156968114007661-0.156960677347567)×R²
    abs(2.59065387-2.59060593)×7.43666009345167e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.43666009345167e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.43666009345167e-06×40589641000000     		ar = 2299.90219849661m²