Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119576 / 118461
↖ ↑ ↗
← S 80.954804°
E148.425293°		 ← 48.01 m → S 80.954804°
E148.428039°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
S 80.955235°
E148.425293°		 ← 48 m →
2 303 m²		 S 80.955235°
E148.428039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912296295166016 y=0.903789520263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912296295166016 × 217)
    floor (0.912296295166016 × 131072)
    floor (119576.5)     		tx = 119576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903789520263672 × 217)
    floor (0.903789520263672 × 131072)
    floor (118461.5)     		ty = 118461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119576 / 118461 ti = "17/119576/118461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119576/118461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119576 ÷ 217
    119576 ÷ 131072     		x = 0.91229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118461 ÷ 217
    118461 ÷ 131072     		y = 0.903785705566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91229248046875 × 2 - 1) × π
    0.8245849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59051006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903785705566406 × 2 - 1) × π
    -0.807571411132812 × 3.1415926535     		Φ = -2.53706041239147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59051006} λ = 2.59051006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53706041239147))-π/2
    2×atan(0.079098575565555)-π/2
    2×0.078934229760474-π/2
    0.157868459520948-1.57079632675     		φ = -1.41292787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59051006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41292787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.954804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119576 KachelY 118461 2.59051006 -1.41292787 148.425293 -80.954804
    Oben rechts KachelX + 1 119577 KachelY 118461 2.59055799 -1.41292787 148.428039 -80.954804
    Unten links KachelX 119576 KachelY + 1 118462 2.59051006 -1.41293540 148.425293 -80.955235
    Unten rechts KachelX + 1 119577 KachelY + 1 118462 2.59055799 -1.41293540 148.428039 -80.955235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41292787--1.41293540) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41292787--1.41293540) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59051006-2.59055799) × cos(-1.41292787) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157213528670838 × 6371000     		do = 48.0070422584197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59051006-2.59055799) × cos(-1.41293540) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157206092304687 × 6371000     		du = 48.0047714745559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41292787)-sin(-1.41293540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157213528670838-0.157206092304687)×R²
    abs(2.59055799-2.59051006)×7.43636615127552e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.43636615127552e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.43636615127552e-06×40589641000000     		ar = 2303.01761369538m²