Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119575 / 118490
↖ ↑ ↗
← S 80.967317°
E148.422546°		 ← 47.95 m → S 80.967317°
E148.425293°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
S 80.967749°
E148.422546°		 ← 47.95 m →
2 300 m²		 S 80.967749°
E148.425293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912288665771484 y=0.904010772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912288665771484 × 217)
    floor (0.912288665771484 × 131072)
    floor (119575.5)     		tx = 119575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904010772705078 × 217)
    floor (0.904010772705078 × 131072)
    floor (118490.5)     		ty = 118490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119575 / 118490 ti = "17/119575/118490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119575/118490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119575 ÷ 217
    119575 ÷ 131072     		x = 0.912284851074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118490 ÷ 217
    118490 ÷ 131072     		y = 0.904006958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912284851074219 × 2 - 1) × π
    0.824569702148438 × 3.1415926535     		Λ = 2.59046212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904006958007812 × 2 - 1) × π
    -0.808013916015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53845058248045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59046212} λ = 2.59046212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53845058248045))-π/2
    2×atan(0.0789886914881981)-π/2
    2×0.0788250279646874-π/2
    0.157650055929375-1.57079632675     		φ = -1.41314627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59046212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.422546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41314627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.967317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119575 KachelY 118490 2.59046212 -1.41314627 148.422546 -80.967317
    Oben rechts KachelX + 1 119576 KachelY 118490 2.59051006 -1.41314627 148.425293 -80.967317
    Unten links KachelX 119575 KachelY + 1 118491 2.59046212 -1.41315380 148.422546 -80.967749
    Unten rechts KachelX + 1 119576 KachelY + 1 118491 2.59051006 -1.41315380 148.425293 -80.967749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41314627--1.41315380) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41314627--1.41315380) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59046212-2.59051006) × cos(-1.41314627) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15699784080705 × 6371000     		do = 47.9511817068638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59046212-2.59051006) × cos(-1.41315380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156990404182536 × 6371000     		du = 47.9489103703187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41314627)-sin(-1.41315380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15699784080705-0.156990404182536)×R²
    abs(2.59051006-2.59046212)×7.43662451366256e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.43662451366256e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.43662451366256e-06×40589641000000     		ar = 2300.33776696603m²