Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119572 / 118428
↖ ↑ ↗
← S 80.940543°
E148.414307°		 ← 48.08 m → S 80.940543°
E148.417053°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
S 80.940975°
E148.414307°		 ← 48.08 m →
2 313 m²		 S 80.940975°
E148.417053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912265777587891 y=0.903537750244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912265777587891 × 217)
    floor (0.912265777587891 × 131072)
    floor (119572.5)     		tx = 119572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903537750244141 × 217)
    floor (0.903537750244141 × 131072)
    floor (118428.5)     		ty = 118428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119572 / 118428 ti = "17/119572/118428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119572/118428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119572 ÷ 217
    119572 ÷ 131072     		x = 0.912261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118428 ÷ 217
    118428 ÷ 131072     		y = 0.903533935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912261962890625 × 2 - 1) × π
    0.82452392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59031831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903533935546875 × 2 - 1) × π
    -0.80706787109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53547849470401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59031831} λ = 2.59031831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53547849470401))-π/2
    2×atan(0.0792238020241555)-π/2
    2×0.0790586763749763-π/2
    0.158117352749953-1.57079632675     		φ = -1.41267897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59031831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.414307°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41267897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.940543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119572 KachelY 118428 2.59031831 -1.41267897 148.414307 -80.940543
    Oben rechts KachelX + 1 119573 KachelY 118428 2.59036624 -1.41267897 148.417053 -80.940543
    Unten links KachelX 119572 KachelY + 1 118429 2.59031831 -1.41268652 148.414307 -80.940975
    Unten rechts KachelX + 1 119573 KachelY + 1 118429 2.59036624 -1.41268652 148.417053 -80.940975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41267897--1.41268652) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dl = 48.101050000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41267897--1.41268652) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dr = 48.101050000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59031831-2.59036624) × cos(-1.41267897) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157459328635928 × 6371000     		do = 48.0821002347336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59031831-2.59036624) × cos(-1.41268652) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157451872814119 × 6371000     		du = 48.0798235098507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41267897)-sin(-1.41268652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157459328635928-0.157451872814119)×R²
    abs(2.59036624-2.59031831)×7.45582180894377e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.45582180894377e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.45582180894377e-06×40589641000000     		ar = 2312.74475111809m²