Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119570 / 118486
↖ ↑ ↗
← S 80.965592°
E148.408813°		 ← 47.96 m → S 80.965592°
E148.411560°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
S 80.966023°
E148.408813°		 ← 47.96 m →
2 301 m²		 S 80.966023°
E148.411560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912250518798828 y=0.903980255126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912250518798828 × 217)
    floor (0.912250518798828 × 131072)
    floor (119570.5)     		tx = 119570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903980255126953 × 217)
    floor (0.903980255126953 × 131072)
    floor (118486.5)     		ty = 118486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119570 / 118486 ti = "17/119570/118486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119570/118486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119570 ÷ 217
    119570 ÷ 131072     		x = 0.912246704101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118486 ÷ 217
    118486 ÷ 131072     		y = 0.903976440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912246704101562 × 2 - 1) × π
    0.824493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59022243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903976440429688 × 2 - 1) × π
    -0.807952880859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53825883488197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59022243} λ = 2.59022243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53825883488197))-π/2
    2×atan(0.0790038388322851)-π/2
    2×0.0788400813693585-π/2
    0.157680162738717-1.57079632675     		φ = -1.41311616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59022243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.408813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41311616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.965592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119570 KachelY 118486 2.59022243 -1.41311616 148.408813 -80.965592
    Oben rechts KachelX + 1 119571 KachelY 118486 2.59027037 -1.41311616 148.411560 -80.965592
    Unten links KachelX 119570 KachelY + 1 118487 2.59022243 -1.41312369 148.408813 -80.966023
    Unten rechts KachelX + 1 119571 KachelY + 1 118487 2.59027037 -1.41312369 148.411560 -80.966023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41311616--1.41312369) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41311616--1.41312369) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59022243-2.59027037) × cos(-1.41311616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157027577340139 × 6371000     		do = 47.9602640094876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59022243-2.59027037) × cos(-1.41312369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157020140751223 × 6371000     		du = 47.9579926838151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41311616)-sin(-1.41312369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157027577340139-0.157020140751223)×R²
    abs(2.59027037-2.59022243)×7.43658891527721e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.43658891527721e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.43658891527721e-06×40589641000000     		ar = 2300.77347845041m²