Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 11957 / 13771
↖ ↑ ↗
← N 27.576460°
W 48.636475°		 ← 1 082.85 m → N 27.576460°
W 48.625488°		 →
↑
1 082.88 m
↓
↑
1 082.88 m
↓
N 27.566721°
W 48.636475°		 ← 1 082.95 m →
1 172 651 m²		 N 27.566721°
W 48.625488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11957 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364913940429688 y=0.420272827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364913940429688 × 215)
    floor (0.364913940429688 × 32768)
    floor (11957.5)     		tx = 11957
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420272827148438 × 215)
    floor (0.420272827148438 × 32768)
    floor (13771.5)     		ty = 13771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11957 / 13771 ti = "15/11957/13771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11957/13771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11957 ÷ 215
    11957 ÷ 32768     		x = 0.364898681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13771 ÷ 215
    13771 ÷ 32768     		y = 0.420257568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364898681640625 × 2 - 1) × π
    -0.27020263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84886662
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420257568359375 × 2 - 1) × π
    0.15948486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.501036474828827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84886662} λ = -0.84886662}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501036474828827))-π/2
    2×atan(1.65043101469721)-π/2
    2×1.02604817557888-π/2
    2.05209635115775-1.57079632675     		φ = 0.48130002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84886662} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.636475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48130002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.576460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11957 KachelY 13771 -0.84886662 0.48130002 -48.636475 27.576460
    Oben rechts KachelX + 1 11958 KachelY 13771 -0.84867487 0.48130002 -48.625488 27.576460
    Unten links KachelX 11957 KachelY + 1 13772 -0.84886662 0.48113005 -48.636475 27.566721
    Unten rechts KachelX + 1 11958 KachelY + 1 13772 -0.84867487 0.48113005 -48.625488 27.566721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48130002-0.48113005) × R
    0.000169970000000019 × 6371000     		dl = 1082.87887000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48130002-0.48113005) × R
    0.000169970000000019 × 6371000     		dr = 1082.87887000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84886662--0.84867487) × cos(0.48130002) × R
    0.000191750000000046 × 0.886393851250927 × 6371000     		do = 1082.85351964705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84886662--0.84867487) × cos(0.48113005) × R
    0.000191750000000046 × 0.886472522981064 × 6371000     		du = 1082.94962812045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48130002)-sin(0.48113005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886393851250927-0.886472522981064)×R²
    abs(-0.84867487--0.84886662)×7.86717301372031e-05×R²
    0.000191750000000046×7.86717301372031e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.86717301372031e-05×40589641000000     		ar = 1172651.23547151m²