Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119569 / 118446
↖ ↑ ↗
← S 80.948324°
E148.406067°		 ← 48.04 m → S 80.948324°
E148.408813°		 →
↑
48.04 m
↓
↑
48.04 m
↓
S 80.948756°
E148.406067°		 ← 48.04 m →
2 308 m²		 S 80.948756°
E148.408813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912242889404297 y=0.903675079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912242889404297 × 217)
    floor (0.912242889404297 × 131072)
    floor (119569.5)     		tx = 119569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903675079345703 × 217)
    floor (0.903675079345703 × 131072)
    floor (118446.5)     		ty = 118446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119569 / 118446 ti = "17/119569/118446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119569/118446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119569 ÷ 217
    119569 ÷ 131072     		x = 0.912239074707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118446 ÷ 217
    118446 ÷ 131072     		y = 0.903671264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912239074707031 × 2 - 1) × π
    0.824478149414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.59017450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903671264648438 × 2 - 1) × π
    -0.807342529296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53634135889717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59017450} λ = 2.59017450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53634135889717))-π/2
    2×atan(0.0791554721260935)-π/2
    2×0.07899077230328-π/2
    0.15798154460656-1.57079632675     		φ = -1.41281478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59017450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.406067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41281478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.948324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119569 KachelY 118446 2.59017450 -1.41281478 148.406067 -80.948324
    Oben rechts KachelX + 1 119570 KachelY 118446 2.59022243 -1.41281478 148.408813 -80.948324
    Unten links KachelX 119569 KachelY + 1 118447 2.59017450 -1.41282232 148.406067 -80.948756
    Unten rechts KachelX + 1 119570 KachelY + 1 118447 2.59022243 -1.41282232 148.408813 -80.948756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41281478--1.41282232) × R
    7.5400000001391e-06 × 6371000     		dl = 48.0373400008862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41281478--1.41282232) × R
    7.5400000001391e-06 × 6371000     		dr = 48.0373400008862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59017450-2.59022243) × cos(-1.41281478) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157325211349734 × 6371000     		do = 48.0411459079633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59017450-2.59022243) × cos(-1.41282232) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157317765242025 × 6371000     		du = 48.0388721493976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41281478)-sin(-1.41282232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157325211349734-0.157317765242025)×R²
    abs(2.59022243-2.59017450)×7.446107709419e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.446107709419e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.446107709419e-06×40589641000000     		ar = 2307.71424738166m²