Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119565 / 118227
↖ ↑ ↗
← S 80.853201°
E148.395081°		 ← 48.55 m → S 80.853201°
E148.397827°		 →
↑
48.55 m
↓
↑
48.55 m
↓
S 80.853637°
E148.395081°		 ← 48.55 m →
2 357 m²		 S 80.853637°
E148.397827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912212371826172 y=0.902004241943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912212371826172 × 217)
    floor (0.912212371826172 × 131072)
    floor (119565.5)     		tx = 119565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902004241943359 × 217)
    floor (0.902004241943359 × 131072)
    floor (118227.5)     		ty = 118227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119565 / 118227 ti = "17/119565/118227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119565/118227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119565 ÷ 217
    119565 ÷ 131072     		x = 0.912208557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118227 ÷ 217
    118227 ÷ 131072     		y = 0.902000427246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912208557128906 × 2 - 1) × π
    0.824417114257812 × 3.1415926535     		Λ = 2.58998275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902000427246094 × 2 - 1) × π
    -0.804000854492188 × 3.1415926535     		Φ = -2.52584317788038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58998275} λ = 2.58998275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52584317788038))-π/2
    2×atan(0.0799908378389277)-π/2
    2×0.07982088180947-π/2
    0.15964176361894-1.57079632675     		φ = -1.41115456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58998275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.395081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41115456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.853201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119565 KachelY 118227 2.58998275 -1.41115456 148.395081 -80.853201
    Oben rechts KachelX + 1 119566 KachelY 118227 2.59003069 -1.41115456 148.397827 -80.853201
    Unten links KachelX 119565 KachelY + 1 118228 2.58998275 -1.41116218 148.395081 -80.853637
    Unten rechts KachelX + 1 119566 KachelY + 1 118228 2.59003069 -1.41116218 148.397827 -80.853637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41115456--1.41116218) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dl = 48.5470200006179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41115456--1.41116218) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dr = 48.5470200006179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58998275-2.59003069) × cos(-1.41115456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158964538805186 × 6371000     		do = 48.551861898301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58998275-2.59003069) × cos(-1.41116218) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158957015694258 × 6371000     		du = 48.5495641465785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41115456)-sin(-1.41116218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158964538805186-0.158957015694258)×R²
    abs(2.59003069-2.58998275)×7.52311092852564e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.52311092852564e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.52311092852564e-06×40589641000000     		ar = 2356.99243608206m²