Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119564 / 118484
↖ ↑ ↗
← S 80.964730°
E148.392334°		 ← 47.96 m → S 80.964730°
E148.395081°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
S 80.965161°
E148.392334°		 ← 47.96 m →
2 301 m²		 S 80.965161°
E148.395081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912204742431641 y=0.903964996337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912204742431641 × 217)
    floor (0.912204742431641 × 131072)
    floor (119564.5)     		tx = 119564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903964996337891 × 217)
    floor (0.903964996337891 × 131072)
    floor (118484.5)     		ty = 118484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119564 / 118484 ti = "17/119564/118484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119564/118484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119564 ÷ 217
    119564 ÷ 131072     		x = 0.912200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118484 ÷ 217
    118484 ÷ 131072     		y = 0.903961181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912200927734375 × 2 - 1) × π
    0.82440185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58993481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903961181640625 × 2 - 1) × π
    -0.80792236328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53816296108273
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58993481} λ = 2.58993481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53816296108273))-π/2
    2×atan(0.0790114135935732)-π/2
    2×0.0788476091407544-π/2
    0.157695218281509-1.57079632675     		φ = -1.41310111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58993481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.392334°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41310111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.964730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119564 KachelY 118484 2.58993481 -1.41310111 148.392334 -80.964730
    Oben rechts KachelX + 1 119565 KachelY 118484 2.58998275 -1.41310111 148.395081 -80.964730
    Unten links KachelX 119564 KachelY + 1 118485 2.58993481 -1.41310864 148.392334 -80.965161
    Unten rechts KachelX + 1 119565 KachelY + 1 118485 2.58998275 -1.41310864 148.395081 -80.965161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41310111--1.41310864) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41310111--1.41310864) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58993481-2.58998275) × cos(-1.41310111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157042440615339 × 6371000     		do = 47.9648036363146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58993481-2.58998275) × cos(-1.41310864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15703500404422 × 6371000     		du = 47.9625323160774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41310111)-sin(-1.41310864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157042440615339-0.15703500404422)×R²
    abs(2.58998275-2.58993481)×7.43657111945684e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.43657111945684e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.43657111945684e-06×40589641000000     		ar = 2300.99126084883m²