Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119562 / 118453
↖ ↑ ↗
← S 80.951349°
E148.386841°		 ← 48.04 m → S 80.951349°
E148.389588°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
S 80.951780°
E148.386841°		 ← 48.03 m →
2 304 m²		 S 80.951780°
E148.389588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912189483642578 y=0.903728485107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912189483642578 × 217)
    floor (0.912189483642578 × 131072)
    floor (119562.5)     		tx = 119562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903728485107422 × 217)
    floor (0.903728485107422 × 131072)
    floor (118453.5)     		ty = 118453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119562 / 118453 ti = "17/119562/118453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119562/118453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119562 ÷ 217
    119562 ÷ 131072     		x = 0.912185668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118453 ÷ 217
    118453 ÷ 131072     		y = 0.903724670410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912185668945312 × 2 - 1) × π
    0.824371337890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58983894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903724670410156 × 2 - 1) × π
    -0.807449340820312 × 3.1415926535     		Φ = -2.53667691719451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58983894} λ = 2.58983894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53667691719451))-π/2
    2×atan(0.0791289153065714)-π/2
    2×0.078964380786676-π/2
    0.157928761573352-1.57079632675     		φ = -1.41286757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58983894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.386841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41286757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.951349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119562 KachelY 118453 2.58983894 -1.41286757 148.386841 -80.951349
    Oben rechts KachelX + 1 119563 KachelY 118453 2.58988688 -1.41286757 148.389588 -80.951349
    Unten links KachelX 119562 KachelY + 1 118454 2.58983894 -1.41287510 148.386841 -80.951780
    Unten rechts KachelX + 1 119563 KachelY + 1 118454 2.58988688 -1.41287510 148.389588 -80.951780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41286757--1.41287510) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41286757--1.41287510) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58983894-2.58988688) × cos(-1.41286757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157273078532413 × 6371000     		do = 48.035246392809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58983894-2.58988688) × cos(-1.41287510) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157265642237658 × 6371000     		du = 48.0329751569805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41286757)-sin(-1.41287510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157273078532413-0.157265642237658)×R²
    abs(2.58988688-2.58983894)×7.43629475524754e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.43629475524754e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.43629475524754e-06×40589641000000     		ar = 2304.37065761339m²