Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119560 / 116482
↖ ↑ ↗
← S 80.058998°
E148.381348°		 ← 52.72 m → S 80.058998°
E148.384094°		 →
↑
52.69 m
↓
↑
52.69 m
↓
S 80.059472°
E148.381348°		 ← 52.71 m →
2 777 m²		 S 80.059472°
E148.384094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 116482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912174224853516 y=0.888690948486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912174224853516 × 217)
    floor (0.912174224853516 × 131072)
    floor (119560.5)     		tx = 119560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.888690948486328 × 217)
    floor (0.888690948486328 × 131072)
    floor (116482.5)     		ty = 116482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119560 / 116482 ti = "17/119560/116482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119560/116482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119560 ÷ 217
    119560 ÷ 131072     		x = 0.91217041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 116482 ÷ 217
    116482 ÷ 131072     		y = 0.888687133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91217041015625 × 2 - 1) × π
    0.8243408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58974307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.888687133789062 × 2 - 1) × π
    -0.777374267578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.44219328804338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58974307} λ = 2.58974307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44219328804338))-π/2
    2×atan(0.086969892099613)-π/2
    2×0.0867516086807381-π/2
    0.173503217361476-1.57079632675     		φ = -1.39729311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58974307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.381348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39729311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.058998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119560 KachelY 116482 2.58974307 -1.39729311 148.381348 -80.058998
    Oben rechts KachelX + 1 119561 KachelY 116482 2.58979100 -1.39729311 148.384094 -80.058998
    Unten links KachelX 119560 KachelY + 1 116483 2.58974307 -1.39730138 148.381348 -80.059472
    Unten rechts KachelX + 1 119561 KachelY + 1 116483 2.58979100 -1.39730138 148.384094 -80.059472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39729311--1.39730138) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dl = 52.6881700009139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39729311--1.39730138) × R
    8.27000000014344e-06 × 6371000     		dr = 52.6881700009139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58974307-2.58979100) × cos(-1.39729311) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172634020966482 × 6371000     		do = 52.7158750894199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58974307-2.58979100) × cos(-1.39730138) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.172625875126046 × 6371000     		du = 52.713387659048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39729311)-sin(-1.39730138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172634020966482-0.172625875126046)×R²
    abs(2.58979100-2.58974307)×8.14584043673516e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.14584043673516e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.14584043673516e-06×40589641000000     		ar = 2777.43745938889m²