Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119558 / 118274
↖ ↑ ↗
← S 80.873699°
E148.375854°		 ← 48.44 m → S 80.873699°
E148.378601°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
S 80.874134°
E148.375854°		 ← 48.44 m →
2 346 m²		 S 80.874134°
E148.378601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912158966064453 y=0.902362823486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912158966064453 × 217)
    floor (0.912158966064453 × 131072)
    floor (119558.5)     		tx = 119558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902362823486328 × 217)
    floor (0.902362823486328 × 131072)
    floor (118274.5)     		ty = 118274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119558 / 118274 ti = "17/119558/118274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119558/118274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119558 ÷ 217
    119558 ÷ 131072     		x = 0.912155151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118274 ÷ 217
    118274 ÷ 131072     		y = 0.902359008789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912155151367188 × 2 - 1) × π
    0.824310302734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58964719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902359008789062 × 2 - 1) × π
    -0.804718017578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52809621216252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58964719} λ = 2.58964719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52809621216252))-π/2
    2×atan(0.079810818609917)-π/2
    2×0.0796420045587621-π/2
    0.159284009117524-1.57079632675     		φ = -1.41151232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58964719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.375854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41151232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.873699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119558 KachelY 118274 2.58964719 -1.41151232 148.375854 -80.873699
    Oben rechts KachelX + 1 119559 KachelY 118274 2.58969513 -1.41151232 148.378601 -80.873699
    Unten links KachelX 119558 KachelY + 1 118275 2.58964719 -1.41151992 148.375854 -80.874134
    Unten rechts KachelX + 1 119559 KachelY + 1 118275 2.58969513 -1.41151992 148.378601 -80.874134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41151232--1.41151992) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41151232--1.41151992) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58964719-2.58969513) × cos(-1.41151232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15861131781091 × 6371000     		do = 48.4439791147405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58964719-2.58969513) × cos(-1.41151992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158603814013961 × 6371000     		du = 48.4416872620047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41151232)-sin(-1.41151992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15861131781091-0.158603814013961)×R²
    abs(2.58969513-2.58964719)×7.50379694874903e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.50379694874903e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.50379694874903e-06×40589641000000     		ar = 2345.58260604884m²