Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119557 / 118025
↖ ↑ ↗
← S 80.764583°
E148.373108°		 ← 49.02 m → S 80.764583°
E148.375854°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
S 80.765023°
E148.373108°		 ← 49.02 m →
2 401 m²		 S 80.765023°
E148.375854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119557 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912151336669922 y=0.900463104248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912151336669922 × 217)
    floor (0.912151336669922 × 131072)
    floor (119557.5)     		tx = 119557
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900463104248047 × 217)
    floor (0.900463104248047 × 131072)
    floor (118025.5)     		ty = 118025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119557 / 118025 ti = "17/119557/118025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119557/118025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119557 ÷ 217
    119557 ÷ 131072     		x = 0.912147521972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118025 ÷ 217
    118025 ÷ 131072     		y = 0.900459289550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912147521972656 × 2 - 1) × π
    0.824295043945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.58959925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900459289550781 × 2 - 1) × π
    -0.800918579101562 × 3.1415926535     		Φ = -2.51615992415713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58959925} λ = 2.58959925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51615992415713))-π/2
    2×atan(0.0807691717378467)-π/2
    2×0.0805942191800019-π/2
    0.161188438360004-1.57079632675     		φ = -1.40960789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58959925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.373108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40960789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.764583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119557 KachelY 118025 2.58959925 -1.40960789 148.373108 -80.764583
    Oben rechts KachelX + 1 119558 KachelY 118025 2.58964719 -1.40960789 148.375854 -80.764583
    Unten links KachelX 119557 KachelY + 1 118026 2.58959925 -1.40961558 148.373108 -80.765023
    Unten rechts KachelX + 1 119558 KachelY + 1 118026 2.58964719 -1.40961558 148.375854 -80.765023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40960789--1.40961558) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dl = 48.9929900007369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40960789--1.40961558) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dr = 48.9929900007369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58959925-2.58964719) × cos(-1.40960789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160491351057483 × 6371000     		do = 49.0181896602992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58959925-2.58964719) × cos(-1.40961558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160483760736311 × 6371000     		du = 49.0158713808384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40960789)-sin(-1.40961558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160491351057483-0.160483760736311)×R²
    abs(2.58964719-2.58959925)×7.59032117203517e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.59032117203517e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.59032117203517e-06×40589641000000     		ar = 2401.49088615455m²