Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119555 / 118036
↖ ↑ ↗
← S 80.769430°
E148.367615°		 ← 48.99 m → S 80.769430°
E148.370361°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
S 80.769871°
E148.367615°		 ← 48.99 m →
2 400 m²		 S 80.769871°
E148.370361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912136077880859 y=0.900547027587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912136077880859 × 217)
    floor (0.912136077880859 × 131072)
    floor (119555.5)     		tx = 119555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900547027587891 × 217)
    floor (0.900547027587891 × 131072)
    floor (118036.5)     		ty = 118036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119555 / 118036 ti = "17/119555/118036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119555/118036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119555 ÷ 217
    119555 ÷ 131072     		x = 0.912132263183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118036 ÷ 217
    118036 ÷ 131072     		y = 0.900543212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912132263183594 × 2 - 1) × π
    0.824264526367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.58950338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900543212890625 × 2 - 1) × π
    -0.80108642578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51668723005295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58950338} λ = 2.58950338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51668723005295))-π/2
    2×atan(0.0807265929044103)-π/2
    2×0.0805519161715149-π/2
    0.16110383234303-1.57079632675     		φ = -1.40969249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58950338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.367615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40969249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.769430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119555 KachelY 118036 2.58950338 -1.40969249 148.367615 -80.769430
    Oben rechts KachelX + 1 119556 KachelY 118036 2.58955132 -1.40969249 148.370361 -80.769430
    Unten links KachelX 119555 KachelY + 1 118037 2.58950338 -1.40970018 148.367615 -80.769871
    Unten rechts KachelX + 1 119556 KachelY + 1 118037 2.58955132 -1.40970018 148.370361 -80.769871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40969249--1.40970018) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dl = 48.9929899993222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40969249--1.40970018) × R
    7.68999999989362e-06 × 6371000     		dr = 48.9929899993222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58950338-2.58955132) × cos(-1.40969249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160407847132186 × 6371000     		do = 48.9926854121227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58950338-2.58955132) × cos(-1.40970018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160400256706632 × 6371000     		du = 48.990367100781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40969249)-sin(-1.40970018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160407847132186-0.160400256706632)×R²
    abs(2.58955132-2.58950338)×7.59042555370515e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.59042555370515e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.59042555370515e-06×40589641000000     		ar = 2400.24135605206m²