Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119554 / 118013
↖ ↑ ↗
← S 80.759292°
E148.364868°		 ← 49.05 m → S 80.759292°
E148.367615°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
S 80.759733°
E148.364868°		 ← 49.04 m →
2 406 m²		 S 80.759733°
E148.367615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912128448486328 y=0.900371551513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912128448486328 × 217)
    floor (0.912128448486328 × 131072)
    floor (119554.5)     		tx = 119554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900371551513672 × 217)
    floor (0.900371551513672 × 131072)
    floor (118013.5)     		ty = 118013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119554 / 118013 ti = "17/119554/118013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119554/118013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119554 ÷ 217
    119554 ÷ 131072     		x = 0.912124633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118013 ÷ 217
    118013 ÷ 131072     		y = 0.900367736816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912124633789062 × 2 - 1) × π
    0.824249267578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58945544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900367736816406 × 2 - 1) × π
    -0.800735473632812 × 3.1415926535     		Φ = -2.51558468136169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58945544} λ = 2.58945544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51558468136169))-π/2
    2×atan(0.0808156469879774)-π/2
    2×0.0806403930342888-π/2
    0.161280786068578-1.57079632675     		φ = -1.40951554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58945544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.364868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40951554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.759292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119554 KachelY 118013 2.58945544 -1.40951554 148.364868 -80.759292
    Oben rechts KachelX + 1 119555 KachelY 118013 2.58950338 -1.40951554 148.367615 -80.759292
    Unten links KachelX 119554 KachelY + 1 118014 2.58945544 -1.40952324 148.364868 -80.759733
    Unten rechts KachelX + 1 119555 KachelY + 1 118014 2.58950338 -1.40952324 148.367615 -80.759733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40951554--1.40952324) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dl = 49.0567000003497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40951554--1.40952324) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dr = 49.0567000003497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58945544-2.58950338) × cos(-1.40951554) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160582503262702 × 6371000     		do = 49.0460298900311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58945544-2.58950338) × cos(-1.40952324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1605749031853 × 6371000     		du = 49.0437086307664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40951554)-sin(-1.40952324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160582503262702-0.1605749031853)×R²
    abs(2.58950338-2.58945544)×7.60007740249757e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.60007740249757e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.60007740249757e-06×40589641000000     		ar = 2405.97943779259m²