Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119553 / 118017
↖ ↑ ↗
← S 80.761056°
E148.362122°		 ← 49.03 m → S 80.761056°
E148.364868°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
S 80.761497°
E148.362122°		 ← 49.02 m →
2 405 m²		 S 80.761497°
E148.364868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912120819091797 y=0.900402069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912120819091797 × 217)
    floor (0.912120819091797 × 131072)
    floor (119553.5)     		tx = 119553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900402069091797 × 217)
    floor (0.900402069091797 × 131072)
    floor (118017.5)     		ty = 118017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119553 / 118017 ti = "17/119553/118017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119553/118017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119553 ÷ 217
    119553 ÷ 131072     		x = 0.912117004394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118017 ÷ 217
    118017 ÷ 131072     		y = 0.900398254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912117004394531 × 2 - 1) × π
    0.824234008789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.58940751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900398254394531 × 2 - 1) × π
    -0.800796508789062 × 3.1415926535     		Φ = -2.51577642896017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58940751} λ = 2.58940751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51577642896017))-π/2
    2×atan(0.080800152267333)-π/2
    2×0.0806249988364733-π/2
    0.161249997672947-1.57079632675     		φ = -1.40954633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58940751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.362122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40954633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.761056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119553 KachelY 118017 2.58940751 -1.40954633 148.362122 -80.761056
    Oben rechts KachelX + 1 119554 KachelY 118017 2.58945544 -1.40954633 148.364868 -80.761056
    Unten links KachelX 119553 KachelY + 1 118018 2.58940751 -1.40955403 148.362122 -80.761497
    Unten rechts KachelX + 1 119554 KachelY + 1 118018 2.58945544 -1.40955403 148.364868 -80.761497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40954633--1.40955403) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dl = 49.0567000003497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40954633--1.40955403) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dr = 49.0567000003497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58940751-2.58945544) × cos(-1.40954633) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160552112766245 × 6371000     		do = 49.0265190751195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58940751-2.58945544) × cos(-1.40955403) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160544512650776 × 6371000     		du = 49.0241982884315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40954633)-sin(-1.40955403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160552112766245-0.160544512650776)×R²
    abs(2.58945544-2.58940751)×7.60011546938055e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.60011546938055e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.60011546938055e-06×40589641000000     		ar = 2405.0223132765m²