Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119549 / 118005
↖ ↑ ↗
← S 80.755763°
E148.351135°		 ← 49.06 m → S 80.755763°
E148.353882°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
S 80.756204°
E148.351135°		 ← 49.06 m →
2 407 m²		 S 80.756204°
E148.353882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912090301513672 y=0.900310516357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912090301513672 × 217)
    floor (0.912090301513672 × 131072)
    floor (119549.5)     		tx = 119549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900310516357422 × 217)
    floor (0.900310516357422 × 131072)
    floor (118005.5)     		ty = 118005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119549 / 118005 ti = "17/119549/118005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119549/118005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119549 ÷ 217
    119549 ÷ 131072     		x = 0.912086486816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118005 ÷ 217
    118005 ÷ 131072     		y = 0.900306701660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912086486816406 × 2 - 1) × π
    0.824172973632812 × 3.1415926535     		Λ = 2.58921576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900306701660156 × 2 - 1) × π
    -0.800613403320312 × 3.1415926535     		Φ = -2.51520118616473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58921576} λ = 2.58921576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51520118616473))-π/2
    2×atan(0.080846645343917)-π/2
    2×0.0806711901717637-π/2
    0.161342380343527-1.57079632675     		φ = -1.40945395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58921576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.351135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40945395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.755763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119549 KachelY 118005 2.58921576 -1.40945395 148.351135 -80.755763
    Oben rechts KachelX + 1 119550 KachelY 118005 2.58926370 -1.40945395 148.353882 -80.755763
    Unten links KachelX 119549 KachelY + 1 118006 2.58921576 -1.40946165 148.351135 -80.756204
    Unten rechts KachelX + 1 119550 KachelY + 1 118006 2.58926370 -1.40946165 148.353882 -80.756204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40945395--1.40946165) × R
    7.69999999983284e-06 × 6371000     		dl = 49.056699998935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40945395--1.40946165) × R
    7.69999999983284e-06 × 6371000     		dr = 49.056699998935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58921576-2.58926370) × cos(-1.40945395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160643293669005 × 6371000     		do = 49.0645968448609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58921576-2.58926370) × cos(-1.40946165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16063569366777 × 6371000     		du = 49.0622756088599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40945395)-sin(-1.40946165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160643293669005-0.16063569366777)×R²
    abs(2.58926370-2.58921576)×7.60000123453675e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.60000123453675e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.60000123453675e-06×40589641000000     		ar = 2406.89027196763m²