Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119548 / 118010
↖ ↑ ↗
← S 80.757969°
E148.348389°		 ← 49.05 m → S 80.757969°
E148.351135°		 →
↑
48.99 m
↓
↑
48.99 m
↓
S 80.758409°
E148.348389°		 ← 49.05 m →
2 403 m²		 S 80.758409°
E148.351135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912082672119141 y=0.900348663330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912082672119141 × 217)
    floor (0.912082672119141 × 131072)
    floor (119548.5)     		tx = 119548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900348663330078 × 217)
    floor (0.900348663330078 × 131072)
    floor (118010.5)     		ty = 118010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119548 / 118010 ti = "17/119548/118010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119548/118010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119548 ÷ 217
    119548 ÷ 131072     		x = 0.912078857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118010 ÷ 217
    118010 ÷ 131072     		y = 0.900344848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912078857421875 × 2 - 1) × π
    0.82415771484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58916782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900344848632812 × 2 - 1) × π
    -0.800689697265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.51544087066283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58916782} λ = 2.58916782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51544087066283))-π/2
    2×atan(0.0808272699783847)-π/2
    2×0.080651940594782-π/2
    0.161303881189564-1.57079632675     		φ = -1.40949245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58916782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.348389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40949245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.757969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119548 KachelY 118010 2.58916782 -1.40949245 148.348389 -80.757969
    Oben rechts KachelX + 1 119549 KachelY 118010 2.58921576 -1.40949245 148.351135 -80.757969
    Unten links KachelX 119548 KachelY + 1 118011 2.58916782 -1.40950014 148.348389 -80.758409
    Unten rechts KachelX + 1 119549 KachelY + 1 118011 2.58921576 -1.40950014 148.351135 -80.758409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40949245--1.40950014) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dl = 48.9929900007369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40949245--1.40950014) × R
    7.69000000011566e-06 × 6371000     		dr = 48.9929900007369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58916782-2.58921576) × cos(-1.40949245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160605293567595 × 6371000     		do = 49.0529906357678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58916782-2.58921576) × cos(-1.40950014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160597703388944 × 6371000     		du = 49.0506723998365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40949245)-sin(-1.40950014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160605293567595-0.160597703388944)×R²
    abs(2.58921576-2.58916782)×7.59017865126221e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.59017865126221e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.59017865126221e-06×40589641000000     		ar = 2403.19589102583m²