Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119539 / 118257
↖ ↑ ↗
← S 80.866290°
E148.323669°		 ← 48.48 m → S 80.866290°
E148.326416°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
S 80.866726°
E148.323669°		 ← 48.48 m →
2 351 m²		 S 80.866726°
E148.326416°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119539 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912014007568359 y=0.902233123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912014007568359 × 217)
    floor (0.912014007568359 × 131072)
    floor (119539.5)     		tx = 119539
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902233123779297 × 217)
    floor (0.902233123779297 × 131072)
    floor (118257.5)     		ty = 118257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119539 / 118257 ti = "17/119539/118257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119539/118257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119539 ÷ 217
    119539 ÷ 131072     		x = 0.912010192871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118257 ÷ 217
    118257 ÷ 131072     		y = 0.902229309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912010192871094 × 2 - 1) × π
    0.824020385742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.58873639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902229309082031 × 2 - 1) × π
    -0.804458618164062 × 3.1415926535     		Φ = -2.52728128486898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58873639} λ = 2.58873639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52728128486898))-π/2
    2×atan(0.079875885132964)-π/2
    2×0.0797066589128117-π/2
    0.159413317825623-1.57079632675     		φ = -1.41138301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58873639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.323669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41138301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.866290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119539 KachelY 118257 2.58873639 -1.41138301 148.323669 -80.866290
    Oben rechts KachelX + 1 119540 KachelY 118257 2.58878433 -1.41138301 148.326416 -80.866290
    Unten links KachelX 119539 KachelY + 1 118258 2.58873639 -1.41139062 148.323669 -80.866726
    Unten rechts KachelX + 1 119540 KachelY + 1 118258 2.58878433 -1.41139062 148.326416 -80.866726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41138301--1.41139062) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41138301--1.41139062) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58873639-2.58878433) × cos(-1.41138301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158738989562257 × 6371000     		do = 48.4829733538729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58873639-2.58878433) × cos(-1.41139062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158731476048026 × 6371000     		du = 48.4806785332288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41138301)-sin(-1.41139062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158738989562257-0.158731476048026)×R²
    abs(2.58878433-2.58873639)×7.51351423131097e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.51351423131097e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.51351423131097e-06×40589641000000     		ar = 2350.55939649094m²