Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119536 / 118318
↖ ↑ ↗
← S 80.892847°
E148.315430°		 ← 48.34 m → S 80.892847°
E148.318176°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
S 80.893281°
E148.315430°		 ← 48.34 m →
2 335 m²		 S 80.893281°
E148.318176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911991119384766 y=0.902698516845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911991119384766 × 217)
    floor (0.911991119384766 × 131072)
    floor (119536.5)     		tx = 119536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902698516845703 × 217)
    floor (0.902698516845703 × 131072)
    floor (118318.5)     		ty = 118318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119536 / 118318 ti = "17/119536/118318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119536/118318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119536 ÷ 217
    119536 ÷ 131072     		x = 0.9119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118318 ÷ 217
    118318 ÷ 131072     		y = 0.902694702148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9119873046875 × 2 - 1) × π
    0.823974609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58859258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902694702148438 × 2 - 1) × π
    -0.805389404296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.5302054357458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58859258} λ = 2.58859258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5302054357458))-π/2
    2×atan(0.079642657156499)-π/2
    2×0.0794749052478893-π/2
    0.158949810495779-1.57079632675     		φ = -1.41184652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58859258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.315430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41184652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.892847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119536 KachelY 118318 2.58859258 -1.41184652 148.315430 -80.892847
    Oben rechts KachelX + 1 119537 KachelY 118318 2.58864052 -1.41184652 148.318176 -80.892847
    Unten links KachelX 119536 KachelY + 1 118319 2.58859258 -1.41185410 148.315430 -80.893281
    Unten rechts KachelX + 1 119537 KachelY + 1 118319 2.58864052 -1.41185410 148.318176 -80.893281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41184652--1.41185410) × R
    7.579999999896e-06 × 6371000     		dl = 48.2921799993374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41184652--1.41185410) × R
    7.579999999896e-06 × 6371000     		dr = 48.2921799993374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58859258-2.58864052) × cos(-1.41184652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158281339563454 × 6371000     		do = 48.3431952643275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58859258-2.58864052) × cos(-1.41185410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158273855111979 × 6371000     		du = 48.3409093201973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41184652)-sin(-1.41185410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158281339563454-0.158273855111979)×R²
    abs(2.58864052-2.58859258)×7.48445147499832e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.48445147499832e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.48445147499832e-06×40589641000000     		ar = 2334.54309077852m²