Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119529 / 118250
↖ ↑ ↗
← S 80.863237°
E148.296204°		 ← 48.50 m → S 80.863237°
E148.298950°		 →
↑
48.55 m
↓
↑
48.55 m
↓
S 80.863674°
E148.296204°		 ← 48.50 m →
2 354 m²		 S 80.863674°
E148.298950°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911937713623047 y=0.902179718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911937713623047 × 217)
    floor (0.911937713623047 × 131072)
    floor (119529.5)     		tx = 119529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902179718017578 × 217)
    floor (0.902179718017578 × 131072)
    floor (118250.5)     		ty = 118250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119529 / 118250 ti = "17/119529/118250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119529/118250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119529 ÷ 217
    119529 ÷ 131072     		x = 0.911933898925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118250 ÷ 217
    118250 ÷ 131072     		y = 0.902175903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911933898925781 × 2 - 1) × π
    0.823867797851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.58825702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902175903320312 × 2 - 1) × π
    -0.804351806640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52694572657164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58825702} λ = 2.58825702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52694572657164))-π/2
    2×atan(0.079902692646468)-π/2
    2×0.0797332964178065-π/2
    0.159466592835613-1.57079632675     		φ = -1.41132973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58825702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.296204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41132973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.863237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119529 KachelY 118250 2.58825702 -1.41132973 148.296204 -80.863237
    Oben rechts KachelX + 1 119530 KachelY 118250 2.58830496 -1.41132973 148.298950 -80.863237
    Unten links KachelX 119529 KachelY + 1 118251 2.58825702 -1.41133735 148.296204 -80.863674
    Unten rechts KachelX + 1 119530 KachelY + 1 118251 2.58830496 -1.41133735 148.298950 -80.863674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41132973--1.41133735) × R
    7.61999999987495e-06 × 6371000     		dl = 48.5470199992033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41132973--1.41133735) × R
    7.61999999987495e-06 × 6371000     		dr = 48.5470199992033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58825702-2.58830496) × cos(-1.41132973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158791593777572 × 6371000     		do = 48.4990400352627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58825702-2.58830496) × cos(-1.41133735) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158784070454579 × 6371000     		du = 48.4967422187703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41132973)-sin(-1.41133735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158791593777572-0.158784070454579)×R²
    abs(2.58830496-2.58825702)×7.52332299300273e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.52332299300273e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.52332299300273e-06×40589641000000     		ar = 2354.42809062949m²