Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119527 / 118245
↖ ↑ ↗
← S 80.861056°
E148.290711°		 ← 48.50 m → S 80.861056°
E148.293457°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
S 80.861492°
E148.290711°		 ← 48.50 m →
2 351 m²		 S 80.861492°
E148.293457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911922454833984 y=0.902141571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911922454833984 × 217)
    floor (0.911922454833984 × 131072)
    floor (119527.5)     		tx = 119527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902141571044922 × 217)
    floor (0.902141571044922 × 131072)
    floor (118245.5)     		ty = 118245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119527 / 118245 ti = "17/119527/118245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119527/118245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119527 ÷ 217
    119527 ÷ 131072     		x = 0.911918640136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118245 ÷ 217
    118245 ÷ 131072     		y = 0.902137756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911918640136719 × 2 - 1) × π
    0.823837280273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.58816115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902137756347656 × 2 - 1) × π
    -0.804275512695312 × 3.1415926535     		Φ = -2.52670604207354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58816115} λ = 2.58816115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52670604207354))-π/2
    2×atan(0.0799218463785864)-π/2
    2×0.0797523286108948-π/2
    0.15950465722179-1.57079632675     		φ = -1.41129167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58816115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.290711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41129167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.861056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119527 KachelY 118245 2.58816115 -1.41129167 148.290711 -80.861056
    Oben rechts KachelX + 1 119528 KachelY 118245 2.58820908 -1.41129167 148.293457 -80.861056
    Unten links KachelX 119527 KachelY + 1 118246 2.58816115 -1.41129928 148.290711 -80.861492
    Unten rechts KachelX + 1 119528 KachelY + 1 118246 2.58820908 -1.41129928 148.293457 -80.861492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41129167--1.41129928) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41129167--1.41129928) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58816115-2.58820908) × cos(-1.41129167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158829170761984 × 6371000     		do = 48.5003980071259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58816115-2.58820908) × cos(-1.41129928) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158821657358121 × 6371000     		du = 48.4981036988699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41129167)-sin(-1.41129928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158829170761984-0.158821657358121)×R²
    abs(2.58820908-2.58816115)×7.51340386354049e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.51340386354049e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.51340386354049e-06×40589641000000     		ar = 2351.40421381008m²