Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119522 / 119650
↖ ↑ ↗
← S 81.454025°
E148.276977°		 ← 45.39 m → S 81.454025°
E148.279724°		 →
↑
45.36 m
↓
↑
45.36 m
↓
S 81.454433°
E148.276977°		 ← 45.39 m →
2 059 m²		 S 81.454433°
E148.279724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911884307861328 y=0.912860870361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911884307861328 × 217)
    floor (0.911884307861328 × 131072)
    floor (119522.5)     		tx = 119522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912860870361328 × 217)
    floor (0.912860870361328 × 131072)
    floor (119650.5)     		ty = 119650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119522 / 119650 ti = "17/119522/119650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119522/119650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119522 ÷ 217
    119522 ÷ 131072     		x = 0.911880493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119650 ÷ 217
    119650 ÷ 131072     		y = 0.912857055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911880493164062 × 2 - 1) × π
    0.823760986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58792146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912857055664062 × 2 - 1) × π
    -0.825714111328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59405738603972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58792146} λ = 2.58792146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59405738603972))-π/2
    2×atan(0.0747162714919401)-π/2
    2×0.0745777002855079-π/2
    0.149155400571016-1.57079632675     		φ = -1.42164093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58792146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.276977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42164093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.454025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119522 KachelY 119650 2.58792146 -1.42164093 148.276977 -81.454025
    Oben rechts KachelX + 1 119523 KachelY 119650 2.58796940 -1.42164093 148.279724 -81.454025
    Unten links KachelX 119522 KachelY + 1 119651 2.58792146 -1.42164805 148.276977 -81.454433
    Unten rechts KachelX + 1 119523 KachelY + 1 119651 2.58796940 -1.42164805 148.279724 -81.454433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42164093--1.42164805) × R
    7.1200000000271e-06 × 6371000     		dl = 45.3615200001727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42164093--1.42164805) × R
    7.1200000000271e-06 × 6371000     		dr = 45.3615200001727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58792146-2.58796940) × cos(-1.42164093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148602960050166 × 6371000     		do = 45.3871690394826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58792146-2.58796940) × cos(-1.42164805) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148595919100178 × 6371000     		du = 45.3850185521223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42164093)-sin(-1.42164805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148602960050166-0.148595919100178)×R²
    abs(2.58796940-2.58792146)×7.04094998779659e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.04094998779659e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.04094998779659e-06×40589641000000     		ar = 2058.78220140938m²