Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119520 / 118240
↖ ↑ ↗
← S 80.858875°
E148.271484°		 ← 48.52 m → S 80.858875°
E148.274231°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
S 80.859311°
E148.271484°		 ← 48.52 m →
2 352 m²		 S 80.859311°
E148.274231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911869049072266 y=0.902103424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911869049072266 × 217)
    floor (0.911869049072266 × 131072)
    floor (119520.5)     		tx = 119520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902103424072266 × 217)
    floor (0.902103424072266 × 131072)
    floor (118240.5)     		ty = 118240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119520 / 118240 ti = "17/119520/118240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119520/118240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119520 ÷ 217
    119520 ÷ 131072     		x = 0.911865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118240 ÷ 217
    118240 ÷ 131072     		y = 0.902099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911865234375 × 2 - 1) × π
    0.82373046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.58782559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902099609375 × 2 - 1) × π
    -0.80419921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52646635757544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58782559} λ = 2.58782559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52646635757544))-π/2
    2×atan(0.0799410047021078)-π/2
    2×0.0797713653083314-π/2
    0.159542730616663-1.57079632675     		φ = -1.41125360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58782559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.271484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41125360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.858875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119520 KachelY 118240 2.58782559 -1.41125360 148.271484 -80.858875
    Oben rechts KachelX + 1 119521 KachelY 118240 2.58787353 -1.41125360 148.274231 -80.858875
    Unten links KachelX 119520 KachelY + 1 118241 2.58782559 -1.41126121 148.271484 -80.859311
    Unten rechts KachelX + 1 119521 KachelY + 1 118241 2.58787353 -1.41126121 148.274231 -80.859311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41125360--1.41126121) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41125360--1.41126121) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58782559-2.58787353) × cos(-1.41125360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158866757389322 × 6371000     		do = 48.5219969370024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58782559-2.58787353) × cos(-1.41126121) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158859244031478 × 6371000     		du = 48.5197021641229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41125360)-sin(-1.41126121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158866757389322-0.158859244031478)×R²
    abs(2.58787353-2.58782559)×7.51335784435203e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.51335784435203e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.51335784435203e-06×40589641000000     		ar = 2352.45139017765m²