Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119516 / 118397
↖ ↑ ↗
← S 80.927126°
E148.260498°		 ← 48.16 m → S 80.927126°
E148.263245°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
S 80.927560°
E148.260498°		 ← 48.16 m →
2 320 m²		 S 80.927560°
E148.263245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911838531494141 y=0.903301239013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911838531494141 × 217)
    floor (0.911838531494141 × 131072)
    floor (119516.5)     		tx = 119516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903301239013672 × 217)
    floor (0.903301239013672 × 131072)
    floor (118397.5)     		ty = 118397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119516 / 118397 ti = "17/119516/118397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119516/118397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119516 ÷ 217
    119516 ÷ 131072     		x = 0.911834716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118397 ÷ 217
    118397 ÷ 131072     		y = 0.903297424316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911834716796875 × 2 - 1) × π
    0.82366943359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58763384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903297424316406 × 2 - 1) × π
    -0.806594848632812 × 3.1415926535     		Φ = -2.53399245081579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58763384} λ = 2.58763384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53399245081579))-π/2
    2×atan(0.0793416195903106)-π/2
    2×0.0791757579954106-π/2
    0.158351515990821-1.57079632675     		φ = -1.41244481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58763384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.260498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41244481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.927126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119516 KachelY 118397 2.58763384 -1.41244481 148.260498 -80.927126
    Oben rechts KachelX + 1 119517 KachelY 118397 2.58768178 -1.41244481 148.263245 -80.927126
    Unten links KachelX 119516 KachelY + 1 118398 2.58763384 -1.41245237 148.260498 -80.927560
    Unten rechts KachelX + 1 119517 KachelY + 1 118398 2.58768178 -1.41245237 148.263245 -80.927560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41244481--1.41245237) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41244481--1.41245237) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58763384-2.58768178) × cos(-1.41244481) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157690563281754 × 6371000     		do = 48.162756981315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58763384-2.58768178) × cos(-1.41245237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157683097863619 × 6371000     		du = 48.1604768504566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41244481)-sin(-1.41245237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157690563281754-0.157683097863619)×R²
    abs(2.58768178-2.58763384)×7.46541813514967e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.46541813514967e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.46541813514967e-06×40589641000000     		ar = 2319.6927199019m²