Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119514 / 118234
↖ ↑ ↗
← S 80.856257°
E148.255005°		 ← 48.53 m → S 80.856257°
E148.257751°		 →
↑
48.48 m
↓
↑
48.48 m
↓
S 80.856693°
E148.255005°		 ← 48.52 m →
2 353 m²		 S 80.856693°
E148.257751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911823272705078 y=0.902057647705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911823272705078 × 217)
    floor (0.911823272705078 × 131072)
    floor (119514.5)     		tx = 119514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902057647705078 × 217)
    floor (0.902057647705078 × 131072)
    floor (118234.5)     		ty = 118234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119514 / 118234 ti = "17/119514/118234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119514/118234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119514 ÷ 217
    119514 ÷ 131072     		x = 0.911819458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118234 ÷ 217
    118234 ÷ 131072     		y = 0.902053833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911819458007812 × 2 - 1) × π
    0.823638916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.58753797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902053833007812 × 2 - 1) × π
    -0.804107666015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52617873617772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58753797} λ = 2.58753797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52617873617772))-π/2
    2×atan(0.0799640007525349)-π/2
    2×0.0797942152924575-π/2
    0.159588430584915-1.57079632675     		φ = -1.41120790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58753797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.255005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41120790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.856257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119514 KachelY 118234 2.58753797 -1.41120790 148.255005 -80.856257
    Oben rechts KachelX + 1 119515 KachelY 118234 2.58758590 -1.41120790 148.257751 -80.856257
    Unten links KachelX 119514 KachelY + 1 118235 2.58753797 -1.41121551 148.255005 -80.856693
    Unten rechts KachelX + 1 119515 KachelY + 1 118235 2.58758590 -1.41121551 148.257751 -80.856693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41120790--1.41121551) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dl = 48.4833099995905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41120790--1.41121551) × R
    7.60999999993572e-06 × 6371000     		dr = 48.4833099995905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58753797-2.58758590) × cos(-1.41120790) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158911876834878 × 6371000     		do = 48.525653301438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58753797-2.58758590) × cos(-1.41121551) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15890436353229 × 6371000     		du = 48.5233590241079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41120790)-sin(-1.41121551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158911876834878-0.15890436353229)×R²
    abs(2.58758590-2.58753797)×7.51330258760841e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.51330258760841e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.51330258760841e-06×40589641000000     		ar = 2352.6286747009m²