Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119512 / 118424
↖ ↑ ↗
← S 80.938813°
E148.249511°		 ← 48.10 m → S 80.938813°
E148.252258°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
S 80.939246°
E148.249511°		 ← 48.10 m →
2 314 m²		 S 80.939246°
E148.252258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911808013916016 y=0.903507232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911808013916016 × 217)
    floor (0.911808013916016 × 131072)
    floor (119512.5)     		tx = 119512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903507232666016 × 217)
    floor (0.903507232666016 × 131072)
    floor (118424.5)     		ty = 118424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119512 / 118424 ti = "17/119512/118424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119512/118424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119512 ÷ 217
    119512 ÷ 131072     		x = 0.91180419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118424 ÷ 217
    118424 ÷ 131072     		y = 0.90350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91180419921875 × 2 - 1) × π
    0.8236083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.58744209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90350341796875 × 2 - 1) × π
    -0.8070068359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53528674710553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58744209} λ = 2.58744209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53528674710553))-π/2
    2×atan(0.0792389944544456)-π/2
    2×0.0790737740280209-π/2
    0.158147548056042-1.57079632675     		φ = -1.41264878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58744209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.249511°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41264878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.938813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119512 KachelY 118424 2.58744209 -1.41264878 148.249511 -80.938813
    Oben rechts KachelX + 1 119513 KachelY 118424 2.58749003 -1.41264878 148.252258 -80.938813
    Unten links KachelX 119512 KachelY + 1 118425 2.58744209 -1.41265633 148.249511 -80.939246
    Unten rechts KachelX + 1 119513 KachelY + 1 118425 2.58749003 -1.41265633 148.252258 -80.939246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41264878--1.41265633) × R
    7.54999999985628e-06 × 6371000     		dl = 48.1010499990844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41264878--1.41265633) × R
    7.54999999985628e-06 × 6371000     		dr = 48.1010499990844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58744209-2.58749003) × cos(-1.41264878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157489141958196 × 6371000     		do = 48.1012377245156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58744209-2.58749003) × cos(-1.41265633) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157481686172281 × 6371000     		du = 48.098960535585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41264878)-sin(-1.41265633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157489141958196-0.157481686172281)×R²
    abs(2.58749003-2.58744209)×7.45578591576646e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.45578591576646e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.45578591576646e-06×40589641000000     		ar = 2313.6652731045m²