Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119511 / 119624
↖ ↑ ↗
← S 81.443407°
E148.246765°		 ← 45.43 m → S 81.443407°
E148.249511°		 →
↑
45.43 m
↓
↑
45.43 m
↓
S 81.443815°
E148.246765°		 ← 45.43 m →
2 064 m²		 S 81.443815°
E148.249511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911800384521484 y=0.912662506103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911800384521484 × 217)
    floor (0.911800384521484 × 131072)
    floor (119511.5)     		tx = 119511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912662506103516 × 217)
    floor (0.912662506103516 × 131072)
    floor (119624.5)     		ty = 119624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119511 / 119624 ti = "17/119511/119624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119511/119624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119511 ÷ 217
    119511 ÷ 131072     		x = 0.911796569824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119624 ÷ 217
    119624 ÷ 131072     		y = 0.91265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911796569824219 × 2 - 1) × π
    0.823593139648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.58739416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.8253173828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5928110266496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58739416} λ = 2.58739416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5928110266496))-π/2
    2×atan(0.0748094528751925)-π/2
    2×0.0746703637277224-π/2
    0.149340727455445-1.57079632675     		φ = -1.42145560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58739416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.246765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42145560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.443407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119511 KachelY 119624 2.58739416 -1.42145560 148.246765 -81.443407
    Oben rechts KachelX + 1 119512 KachelY 119624 2.58744209 -1.42145560 148.249511 -81.443407
    Unten links KachelX 119511 KachelY + 1 119625 2.58739416 -1.42146273 148.246765 -81.443815
    Unten rechts KachelX + 1 119512 KachelY + 1 119625 2.58744209 -1.42146273 148.249511 -81.443815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42145560--1.42146273) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dl = 45.4252299997855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42145560--1.42146273) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dr = 45.4252299997855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58739416-2.58744209) × cos(-1.42145560) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148786229767176 × 6371000     		do = 45.4336651577791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58739416-2.58744209) × cos(-1.42146273) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148779179124689 × 6371000     		du = 45.4315121592765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42145560)-sin(-1.42146273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148786229767176-0.148779179124689)×R²
    abs(2.58744209-2.58739416)×7.05064248693321e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.05064248693321e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.05064248693321e-06×40589641000000     		ar = 2063.78578917408m²