Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119511 / 118344
↖ ↑ ↗
← S 80.904143°
E148.246765°		 ← 48.27 m → S 80.904143°
E148.249511°		 →
↑
48.29 m
↓
↑
48.29 m
↓
S 80.904577°
E148.246765°		 ← 48.27 m →
2 331 m²		 S 80.904577°
E148.249511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911800384521484 y=0.902896881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911800384521484 × 217)
    floor (0.911800384521484 × 131072)
    floor (119511.5)     		tx = 119511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902896881103516 × 217)
    floor (0.902896881103516 × 131072)
    floor (118344.5)     		ty = 118344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119511 / 118344 ti = "17/119511/118344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119511/118344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119511 ÷ 217
    119511 ÷ 131072     		x = 0.911796569824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118344 ÷ 217
    118344 ÷ 131072     		y = 0.90289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911796569824219 × 2 - 1) × π
    0.823593139648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.58739416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.8057861328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.53145179513593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58739416} λ = 2.58739416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53145179513593))-π/2
    2×atan(0.0795434556161252)-π/2
    2×0.0793763281985864-π/2
    0.158752656397173-1.57079632675     		φ = -1.41204367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58739416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.246765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41204367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.904143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119511 KachelY 118344 2.58739416 -1.41204367 148.246765 -80.904143
    Oben rechts KachelX + 1 119512 KachelY 118344 2.58744209 -1.41204367 148.249511 -80.904143
    Unten links KachelX 119511 KachelY + 1 118345 2.58739416 -1.41205125 148.246765 -80.904577
    Unten rechts KachelX + 1 119512 KachelY + 1 118345 2.58744209 -1.41205125 148.249511 -80.904577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41204367--1.41205125) × R
    7.579999999896e-06 × 6371000     		dl = 48.2921799993374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41204367--1.41205125) × R
    7.579999999896e-06 × 6371000     		dr = 48.2921799993374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58739416-2.58744209) × cos(-1.41204367) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158086671750953 × 6371000     		do = 48.2736670018441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58739416-2.58744209) × cos(-1.41205125) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158079187063093 × 6371000     		du = 48.2713814623655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41204367)-sin(-1.41205125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158086671750953-0.158079187063093)×R²
    abs(2.58744209-2.58739416)×7.48468785913281e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.48468785913281e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.48468785913281e-06×40589641000000     		ar = 2331.18542925346m²