Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11951 / 13775
↖ ↑ ↗
← N 27.537500°
W 48.702392°		 ← 1 083.18 m → N 27.537500°
W 48.691406°		 →
↑
1 083.26 m
↓
↑
1 083.26 m
↓
N 27.527758°
W 48.702392°		 ← 1 083.28 m →
1 173 420 m²		 N 27.527758°
W 48.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364730834960938 y=0.420394897460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364730834960938 × 215)
    floor (0.364730834960938 × 32768)
    floor (11951.5)     		tx = 11951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420394897460938 × 215)
    floor (0.420394897460938 × 32768)
    floor (13775.5)     		ty = 13775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11951 / 13775 ti = "15/11951/13775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11951/13775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11951 ÷ 215
    11951 ÷ 32768     		x = 0.364715576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13775 ÷ 215
    13775 ÷ 32768     		y = 0.420379638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.364715576171875 × 2 - 1) × π
    -0.27056884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.85001710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420379638671875 × 2 - 1) × π
    0.15924072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.500269484434906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85001710} λ = -0.85001710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500269484434906))-π/2
    2×atan(1.64916563529206)-π/2
    2×1.02570818746602-π/2
    2.05141637493204-1.57079632675     		φ = 0.48062005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85001710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.702392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48062005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.537500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11951 KachelY 13775 -0.85001710 0.48062005 -48.702392 27.537500
    Oben rechts KachelX + 1 11952 KachelY 13775 -0.84982536 0.48062005 -48.691406 27.537500
    Unten links KachelX 11951 KachelY + 1 13776 -0.85001710 0.48045002 -48.702392 27.527758
    Unten rechts KachelX + 1 11952 KachelY + 1 13776 -0.84982536 0.48045002 -48.691406 27.527758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48062005-0.48045002) × R
    0.000170030000000043 × 6371000     		dl = 1083.26113000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48062005-0.48045002) × R
    0.000170030000000043 × 6371000     		dr = 1083.26113000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85001710--0.84982536) × cos(0.48062005) × R
    0.000191739999999996 × 0.88670842611192 × 6371000     		do = 1083.1813244502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85001710--0.84982536) × cos(0.48045002) × R
    0.000191739999999996 × 0.886787023105504 × 6371000     		du = 1083.27733661507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48062005)-sin(0.48045002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88670842611192-0.886787023105504)×R²
    abs(-0.84982536--0.85001710)×7.85969935838127e-05×R²
    0.000191739999999996×7.85969935838127e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.85969935838127e-05×40589641000000     		ar = 1173420.23146915m²