Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119508 / 118292
↖ ↑ ↗
← S 80.881537°
E148.238526°		 ← 48.39 m → S 80.881537°
E148.241272°		 →
↑
48.42 m
↓
↑
48.42 m
↓
S 80.881972°
E148.238526°		 ← 48.39 m →
2 343 m²		 S 80.881972°
E148.241272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911777496337891 y=0.902500152587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911777496337891 × 217)
    floor (0.911777496337891 × 131072)
    floor (119508.5)     		tx = 119508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902500152587891 × 217)
    floor (0.902500152587891 × 131072)
    floor (118292.5)     		ty = 118292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119508 / 118292 ti = "17/119508/118292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119508/118292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119508 ÷ 217
    119508 ÷ 131072     		x = 0.911773681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118292 ÷ 217
    118292 ÷ 131072     		y = 0.902496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911773681640625 × 2 - 1) × π
    0.82354736328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58725035
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.80499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52895907635568
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58725035} λ = 2.58725035}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52895907635568))-π/2
    2×atan(0.0797419824147266)-π/2
    2×0.0795736036855026-π/2
    0.159147207371005-1.57079632675     		φ = -1.41164912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58725035} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.238526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41164912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.881537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119508 KachelY 118292 2.58725035 -1.41164912 148.238526 -80.881537
    Oben rechts KachelX + 1 119509 KachelY 118292 2.58729828 -1.41164912 148.241272 -80.881537
    Unten links KachelX 119508 KachelY + 1 118293 2.58725035 -1.41165672 148.238526 -80.881972
    Unten rechts KachelX + 1 119509 KachelY + 1 118293 2.58729828 -1.41165672 148.241272 -80.881972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41164912--1.41165672) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dl = 48.4195999999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41164912--1.41165672) × R
    7.5999999999965e-06 × 6371000     		dr = 48.4195999999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58725035-2.58729828) × cos(-1.41164912) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.158476248064559 × 6371000     		do = 48.3926288158071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58725035-2.58729828) × cos(-1.41165672) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15846874410278 × 6371000     		du = 48.390337390805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41164912)-sin(-1.41165672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158476248064559-0.15846874410278)×R²
    abs(2.58729828-2.58725035)×7.50396177964796e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.50396177964796e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.50396177964796e-06×40589641000000     		ar = 2343.09625515534m²