Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119506 / 118421
↖ ↑ ↗
← S 80.937515°
E148.233032°		 ← 48.11 m → S 80.937515°
E148.235779°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
S 80.937948°
E148.233032°		 ← 48.11 m →
2 314 m²		 S 80.937948°
E148.235779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911762237548828 y=0.903484344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911762237548828 × 217)
    floor (0.911762237548828 × 131072)
    floor (119506.5)     		tx = 119506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903484344482422 × 217)
    floor (0.903484344482422 × 131072)
    floor (118421.5)     		ty = 118421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119506 / 118421 ti = "17/119506/118421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119506/118421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119506 ÷ 217
    119506 ÷ 131072     		x = 0.911758422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118421 ÷ 217
    118421 ÷ 131072     		y = 0.903480529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.911758422851562 × 2 - 1) × π
    0.823516845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58715447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903480529785156 × 2 - 1) × π
    -0.806961059570312 × 3.1415926535     		Φ = -2.53514293640667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58715447} λ = 2.58715447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53514293640667))-π/2
    2×atan(0.0792503906890457)-π/2
    2×0.0790850991440486-π/2
    0.158170198288097-1.57079632675     		φ = -1.41262613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58715447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.233032°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41262613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.937515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119506 KachelY 118421 2.58715447 -1.41262613 148.233032 -80.937515
    Oben rechts KachelX + 1 119507 KachelY 118421 2.58720241 -1.41262613 148.235779 -80.937515
    Unten links KachelX 119506 KachelY + 1 118422 2.58715447 -1.41263368 148.233032 -80.937948
    Unten rechts KachelX + 1 119507 KachelY + 1 118422 2.58720241 -1.41263368 148.235779 -80.937948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41262613--1.41263368) × R
    7.54999999985628e-06 × 6371000     		dl = 48.1010499990844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41262613--1.41263368) × R
    7.54999999985628e-06 × 6371000     		dr = 48.1010499990844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58715447-2.58720241) × cos(-1.41262613) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157511509262079 × 6371000     		do = 48.1080692748557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58715447-2.58720241) × cos(-1.41263368) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157504053503096 × 6371000     		du = 48.1057920941512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41262613)-sin(-1.41263368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157511509262079-0.157504053503096)×R²
    abs(2.58720241-2.58715447)×7.45575898267181e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.45575898267181e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.45575898267181e-06×40589641000000     		ar = 2313.99387826818m²