Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119504 / 118000
↖ ↑ ↗
← S 80.753556°
E148.227539°		 ← 49.08 m → S 80.753556°
E148.230286°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
S 80.753997°
E148.227539°		 ← 49.07 m →
2 407 m²		 S 80.753997°
E148.230286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.911746978759766 y=0.900272369384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.911746978759766 × 217)
    floor (0.911746978759766 × 131072)
    floor (119504.5)     		tx = 119504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900272369384766 × 217)
    floor (0.900272369384766 × 131072)
    floor (118000.5)     		ty = 118000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119504 / 118000 ti = "17/119504/118000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119504/118000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119504 ÷ 217
    119504 ÷ 131072     		x = 0.9117431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118000 ÷ 217
    118000 ÷ 131072     		y = 0.9002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9117431640625 × 2 - 1) × π
    0.823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58705860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9002685546875 × 2 - 1) × π
    -0.800537109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51496150166663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58705860} λ = 2.58705860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51496150166663))-π/2
    2×atan(0.0808660253539805)-π/2
    2×0.0806904443031874-π/2
    0.161380888606375-1.57079632675     		φ = -1.40941544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58705860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40941544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.753556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119504 KachelY 118000 2.58705860 -1.40941544 148.227539 -80.753556
    Oben rechts KachelX + 1 119505 KachelY 118000 2.58710654 -1.40941544 148.230286 -80.753556
    Unten links KachelX 119504 KachelY + 1 118001 2.58705860 -1.40942314 148.227539 -80.753997
    Unten rechts KachelX + 1 119505 KachelY + 1 118001 2.58710654 -1.40942314 148.230286 -80.753997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40941544--1.40942314) × R
    7.69999999983284e-06 × 6371000     		dl = 49.056699998935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40941544--1.40942314) × R
    7.69999999983284e-06 × 6371000     		dr = 49.056699998935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58705860-2.58710654) × cos(-1.40941544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160681303402365 × 6371000     		do = 49.0762059957996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58705860-2.58710654) × cos(-1.40942314) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16067370344877 × 6371000     		du = 49.0738847743489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40941544)-sin(-1.40942314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160681303402365-0.16067370344877)×R²
    abs(2.58710654-2.58705860)×7.59995359495003e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.59995359495003e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.59995359495003e-06×40589641000000     		ar = 2407.45977891285m²